Егэ по математике полезные материалы и шпаргалки

Формулы, правила, свойства. Можно использовать для сдачи ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Для начала шпаргалка в компактном виде:

Формулы сокращенного умножения

(а+b)2 = a2 + 2ab + b2

(а-b)2 = a2 – 2ab + b2

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

a3 – b3 = (a-b)( a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a+b)( a2 – ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2+ b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b+ 3ab2- b3

Свойства степеней

a0 = 1 (a≠0)

am/n = (a≥0, n ε N, m ε N)

a- r = 1/ a r (a>0, r ε Q)

a m · a n = a m + n

a m : a n = a m – n (a≠0)

(a m) n = a mn

(ab) n = a n b n

(a/b) n = a n/ b n

Первообразная

Если F’(x) = f(x), то F(x) – первообразная

для f(x)

Функция f(x) = Первообразная F(x)

k = kx + C

xn = xn+1/n+1  + C

1/x = ln |x| + C

ex = ex + C

ax = ax/ ln a + C

1/√x = 2√x + C

cos x = sin x + C

1/ sin2 x = – ctg x + C

1/ cos2 x = tg x + C

sin x = – cos x + C

1/ x2 = – 1/x

Геометрическая прогрессия

bn+1 = bn · q, где n ε N

q – знаменатель прогрессии

bn = b1 · qn – 1 – n-ый член прогрессии

Сумма n-ыхчленов

Sn = (b n q – b 1 )/q-1

Sn = b 1 (q n – 1 )/q-1

Модуль

|a| = a, если a≥0

-a, если a<0

Формулы cos и sin

sin (-x) = -sin x

cos (-x) = cos x

sin (x + π) = -sin x

cos (x + π) = -cos x

sin (x + 2πk) = sin x

cos (x + 2πk) = cos x

sin (x + π/2) = cos x

Объемы и поверхности тел

1. Призма, прямая или наклонная, параллелепипед V = S·h

2. Прямая призмаSБОК = p·h, p – периметр или длина окружности

3. Параллелепипед прямоугольный

V = a·b·c; P = 2(a·b + b·c + c·a)

P – полная поверхность

4. Куб: V = a3 ; P = 6 a2

5. Пирамида, правильная и неправ.

S = 1/3 S·h; S – площадь основания

6. Пирамида правильная S =1/2 p·A

A – апофема правильной пирамиды

7. Цилиндр круговой V = S·h = πr2h

8. Цилиндр круговой: SБОК = 2 πrh

9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr2h

10. Конус круговой: SБОК = 1/2 pL= πrL

Тригонометрические уравнения

sin x = 0, x = πn

sin x = 1, x = π/2 + 2 πn

sin x = -1, x = – π/2 + 2 πn

cos x = 0, x = π/2 + 2 πn

cos x = 1, x = 2πn

cos x = -1, x =  π + 2 πn

Теоремы сложения

cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny

cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny

sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny

sin (x -y) = sinx ·cosy – cosx ·siny

tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 -+ tg x ·tg y

ctg (x ±y) = tg x -+ tg y/ 1± tg x ·tg y

sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x-+y/2)

cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x-+y/2)

1 + cos 2x = 2 cos2 x; cos2x = 1+cos2x/2

1 – cos 2x = 2 sin2 x; sin2x = 1- cos2x/2

6. Трапеция

a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h

7. Квадрат

а – сторона, d – диагональ S = a2 = d2/2

8. Ромб

a – сторона, d1, d2 – диагонали, α – угол между ними S = d1d2/2 = a2sinα

9. Правильный шестиугольник

a – сторона S = (3√3/2)a2

10. Круг

S = (L/2) r = πr2 = πd2/4

11. Сектор

S = (πr2/360) α

Правила дифференцирования

( f (x) + g (x) )’ = f ’(x) + g’(x)

(k(f(x))’ = kf ’ (x)

(f(x) g(x))’ = f ’(x)·g(x) + f(x)·g’(x)

(f(x)/g(x))’=(f ’(x)·g(x) – f(x)·g’(x))/g2 (x)

(xn)’ = nx n-1

(tg x)’ = 1/ cos2 x

(ctg x)’ = – 1/ sin2 x

(f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)

Уравнение касательной к графику функции

y = f ’(a) (x-a) + f(a)

Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x=a, x=b

S =  ∫( f(x) – g(x)) dx

Формула Ньютона-Лебница

∫ab f(x) dx = F(b) – F (a)

sin x = b x = (-1)n arcsin b + πn

https://5-ege.ru/shpargalki-po-matematike/

cos x = b  x = ± arcos b + 2 πn

tg x = b  x = arctg b + πn

ctg x = b  x = arcctg b + πn

Теоремасинусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

Теорема косинусов: с2=a2+b2-2ab cos y

Неопределенные интегралы

∫ dx = x + C

∫ xn dx = (xn+1/n+1) + C

∫ dx/x2 = -1/x + C

∫ dx/√x = 2√x + C

∫ (kx+b) = 1/k F(kx + b)

∫ sin x dx = – cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ dx/sin2 x = -ctg + C

∫ dx/cos2 x = tg + C

∫ x r dx = x r+1/r+1 + C

Логарифмы

1. loga a = 1

2. loga 1 = 0

3. loga (bn) = n loga b

4. log An b = 1/n loga b

5. loga b = log c b/ log c a

6. loga b = 1/ log b a

Формулы двойного аргумента

cos 2x = cos2x – sin2 x = 2 cos2 x -1 = 1 – 2 sin2 x = 1 – tg2 x/1 + tg2 x

sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg2 x

tg 2x = 2 tg x/ 1 – tg2 x

ctg 2x = ctg 2 x – 1/ 2 ctg x

sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x

cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x

tg 3x = 3 tg x – tg3 x / 1 – 3 tg2 x

sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2

sin s sin t = (cos (s-t) – cos (s+t))/2

cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2

Формулы дифференцирования

c’ = 0                    ()’ = 1/ 2

x’ = 1                     (sin x)’ = cos x

(kx + m)’ = k         (cos x)’ = – sin x

(1/x)’ = – (1/x2)      ( ln x)’ = 1/x

(ex)’ = ex; (xn)’ = nx n-1;(log a x)’=1/x ln a

Площади плоских фигур

1. Прямоугольный треугольник

S = 1/2 a·b (a, b – катеты)

2. Равнобедренный треугольник

S = (a/2)·√ b2 – a2/4

3. Равносторонний треугольник

S = (a2/4)·√3  (a – сторона)

4. Произвольный треугольник

a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2

S = 1/2 a·h = 1/2 a2b sin C =

a2sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)

5. Параллелограмм

a,b – стороны, α – один из углов; h – высота  S = a·h = a·b·sin α

cos (x + π/2) = -sin x

Формулы tg и ctg

tg x = sin x/ cos x; ctg x = cos x/sin x

tg(-x) = – tg x

ctg(-x) = – ctg x

tg (x + πk) = tg x

ctg (x + πk) = ctg x

tg (x ± π) = ± tg x

ctg (x ± π) = ± ctg x

tg (x + π/2) = – ctg x

ctg (x + π/2) = – tg x

sin2 x + cos2 x =1

tg x · ctg x = 1

1 + tg2 x = 1/ cos2 x

1 + ctg2 x = 1/ sin2 x

tg2 (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x

cos2 (x/2) = 1 + cos x/ 2

sin2 (x/2) = 1 – cos x/ 2

11. Шар: V=4/3 πR3 = 1/6 πD3

P = 4 πR2 = πD2

12. Шаровой сегмент

V = πh2 (R-1/3h) = πh/6(h2 + 3r2)

SБОК = 2 πRh =  π(r2 + h2); P= π(2r2 + h2)

13. Шаровой слой

V = 1/6 πh3 + 1/2 π(r2 + h2)· h;

SБОК = 2 π·R·h

14. Шаровой сектор:

V = 2/3  πR2 h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе

Формула корней квадратного уравнения

(a≥0, b≥0)

(a≥0)

ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

Если D=0, то x = -b/2a (D = b2-4ac)

Если D>0, то x1,2 = -b± /2a

Теорема Виета

x1 + x2 = -b/a

x1 · x2 = c/a

Арифметическая прогрессия

a n+1 = an + d, где n – натуральное число

d – разность прогрессии;

a n= a 1 + (n – 1)·d – формула n-го члена

Сумма n членов

Sn = ((a 1 + a n )/2) · n

Sn = ((2a 1 + (n-1)d)/2) · n

Радиус описанной окружности около многоугольника

R = a/ 2 sin 180/n

Радиус вписанной окружности

r = a/ 2 tg 180/n

Окружность

L = 2 πR    S = πR2

Площадь конуса

S БОК = πRL

S КОН= πR(L+R)

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилещащему. Котангенс – наоборот.

Скачать шпаргалки по математике

Скачать всё это в компактном виде: matematika-shpory.doc.

Рекомендуем: