Коэффициент полезного действия для цикла карно

Рассмотрим теперь круговой процесс, при помощи которого тепло, отнятое от какого-нибудь тела, можно превратить в работу, и притом наилучшим образом, т. е. так, чтобы полученная работа была максимально возможной.

Чтобы осуществить этот процесс, нужно, как мы знаем, иметь три тела: источник тепла, от которого тепло отнимается (нагреватель), более холодное тело, которому тепло передается (холодильник), и рабочее тело, при посредстве которого осуществляется передача тепла совершается сама работа. Положим еще, для

простоты рассуждении, что нагреватель и холодильник имеют настолько большую теплоемкость, что их температуры не изменяются от того, что от первого отнимается, а второму передается некоторое количество тепла. Посмотрим, как при таких условиях рабочее тело действительно совершит работу за счет тепла, отданного нагревателем.

Начнем круговой процесс над рабочим телом с того, что оно, сжатое до некоторого давления, находится в контакте с нагревателем и, следовательно, имеет такую же, как он, температуру (точка А на рис. 93). Процесс теплопроводности при этом не происходит, так как нет разности температур. Не происходит, значит, и передачи тепла без совершения работы. Поскольку задачей является получение максимальной работы, мы не должны допускать в нашем цикле таких процессов.

Рис. 93.

Предоставим теперь рабочему телу возможность расшириться и переместить какое-нибудь тело, например поршень, не прерывая контакт с нагревателем. Расширение, следовательно, будет изотермическим (кривая на рис. 93). При этом будет совершена работа. Она совершается за счет тепла, отнятого от нагревателя, который, однако, благодаря своей большой теплоемкости не изменяет своей температуры.

Полученное рабочим телом тепло нужно теперь передать холодильнику. Эту передачу тоже не следует осуществлять прямым соприкосновением рабочего тела с холодильником, так как температура изотермически расширившегося рабочего тела выше температуры холодильника и передача тепла при контакте не будет сопровождаться совершением полезной работы. Поэтому рабочее тело надо сначала охладить до температуры холодильника и уже после этого их можно привести в соприкосновение. Для охлаждения же рабочего тела оно должно быть изолировано от нагревателя, а затем ему нужно дать возможность адиабатно расшириться (см. кривую на рис. 93) до тех пор, пока оно не примет температуру холодильника (при адиабатном расширении тела охлаждаются). На этом втором этапе тело, расширяясь и перемещая, например, поршень, дополнительно совершит механическую работу. После достигнутого таким образом охлаждения рабочего тела его приводят в контакт с холодильником. На этом заканчивается первая половина цикла, во время которой тело совершило полезную работу за счет тепла, полученного от нагревателя.

Теперь необходимо вернуть рабочее тело в исходное состояние, т. е. восстановить первоначальные давление и температуру. Это

значит, что рабочее тело должно быть сжато и приведено снова в контакт с нагревателем. Этот контакт по-прежнему не следует осуществлять, пока температура рабочего тела ниже температуры нагревателя. Поэтому возвращение к первоначальному состоянию тоже проводится в два этапа. Сначала рабочее тело сжимают, не прерывая его контакта с холодильником, т. е. изотермически (см. кривую на рис. 93). Затем, изолировав рабочее тело от холодильнику, его дополнительно сжимают адиабатно, так чтобы оно нагревалось до температуры нагревателя (см. кривую на рис. 93). При адиабатном сжатии тело нагревается за счет внешней работы, совершаемой над ним. После того как в процессе адиабатного сжатия температура рабочего тела станет равной температуре нагревателя, их приводят в контакт, и цикл на этом завершается: рабочее тело находится в исходном состоянии, и процесс может быть начат снова.

Описанный круговой процесс состоит, таким образом, из двух изотермических и двух адиабатных расширений и сжатий. При расширениях рабочее тело совершает полезную работу; сжатия, наоборот, происходят за счет работы, совершаемой над рабочим телом внешними силами.

На всех стадиях рассмотренного кругового процесса нигде не допускается соприкосновение двух тел с различными температурами и, таким образом, избегается возникновение необратимого процесса теплопроводности. Весь цикл проводится, следовательно, обратимым путем (для полной обратимости расширения и сжатия нужно вести очень медленно, в принципе бесконечно медленно, так чтобы процессы эти были квазистатическими).

Описанный цикл, совершаемый рабочим телом, носит название цикла Карно, по имени французского ученого, впервые его рассмотревшего.

В результате кругового процесса Карно некоторое количество тепла оказывается переданным при посредстве рабочего тела от нагревателя к холодильнику. В ходе процесса рабочее тело совершает, кроме того, некоторую работу. В свою очередь над рабочим телом совершают работу внешние силы. Получается ли при этом полезная механическая работа, т. е. достигается ли цель всего процесса?

На первый взгляд кажется, что работа, произведенная рабочим телом при его расширении в первых двух стадиях цикла, полностью компенсируется работой, произведенной внешними силами в последующих двух стадиях, так что полезная работа в конечном счете равна нулю. В действительности, однако, нетрудно убедиться, что положительная работа, совершаемая телом при его расширении, больше, чем отрицательная работа, совершаемая над ним при его сжатии, и что, следовательно, часть тепла, полученная от нагре вателя, действительно преобразуется в механическую работу.

Проще всего в этом можно убедиться в случае, когда рабочим телом является идеальный газ, для которого можно точно вычислить работы расширения и сжатия. Как мы увидим, выводы, которые мы при этом получим, не зависят от природы рабочего тела, т. е. справедливы для любого тела.

Рассмотрим поэтому количественно весь цикл Карно, когда рабочим телом является идеальный газ (см. рис. 93).

Пусть рабочим телом служит 1 моль идеального газа и пусть исходное состояние характеризуется давлением и объемом т. е. точкой А на рис. 93. Температура газа по нашему условию равна температуре нагревателя. Температуру хрлодильника обозначим через Значит,

В исходном состоянии рабочее тело контактирует с нагревателем. Первая стадия кругового процесса, который совершает газ, — это изотермическое расширение (сохраняется контакт с нагревателем) до объема IV Соответственно давление падает по изотерме до значения (точка В на рис. 93).

Положительная работа, совершаемая газом при расширении, равна:

где количество тепла, полученное газом от нагревателя. За счет этого тепла и совершена работа

Вторая стадия состоит в том, что газ изолируется от нагревателя и дальнейшее его расширение происходит адиабатно, вследствие чего газ охлаждается. Это адиабатное расширение прекращают, когда температура газа станет равной температуре холодильника Значение объема, до которого должен расшириться газ, можно определить, учитывая, что при адиабатном расширении справедливо равенство

Объем можно, следовательно, найти из равенства

Давление при этом изменяется по адиабате до значения (точка С на рис. 93). Работа, совершаемая газом на этой, второй, стадии процесса, равна (см. стр. 122)

На третьем этапе циклического процесса газ изотермически сжимается внешними силами при температуре холодильника

от объема до Совершенная при этом над газом работа равна

За счет этой работы выделяется теплота и передается холодильнику, с которым газ контактирует.

Наконец, последнее изменение, которое претерпевает газ, чтобы вернуться в исходное состояние, — это адиабатное сжатие до исходного объема и давления при которых его температура станет равной Для этого нужно, чтобы на предыдущем, третьем этапе газ был сжат до объема определяемого равенством

так как по-прежнему

Работа сжатия на последнем этапе цикла равна

Теперь газ снова находится в первоначальном состоянии, цикл Карно завершен и газ «готов вновь начать процесс.

Каков же результат цикла? В какой мере достигнута его цель — преобразование теплоты в механическую работу?

Общая работа А, совершенная газом и над газом, равна, очевидно,

Из равенств (80.1), (80.4), (80.5) и (80.7) получаем:

Из (80.3) и (80.6) следует, что или Обозначим это отношение через Тогда

Так как то Следовательно, общая работа

и так как то Значит, работа, совершенная газом при расширении, больше работы внешних сил, затраченной на его сжатие. За счет теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя,

совершена, таким образом, некоторая полезная работа, что работа, однако, не равна тому количеству теплоты которое рабочее тело получило от нагревателя.

Из отданного нагревателем количества тепла

часть, равная

была передана холодильнику при изотермическом сжатии газа от объема до объема (газ в это время находился в контакте с холодильником). В полезную работу удалось, таким образом, преобразовать лишь часть полученной теплоты, равную:

Работа А графически определяется площадью, ограниченной кривой (см. рис. 93).

Этим процесс преобразования теплоты в работу отличается от обратного процесса превращения работы в тепло. Механическая работа при определенных условиях может быть целиком превращена в тепло. Тепло лишь частично превращается в работу.

Заметим здесь, что из равенств (80.1), (80.5) и (80.8) следует весьма важное соотношение, которое нам понадобится в дальнейшем. Равенства (80.1) и (80.5) можно переписать в виде:

Сложив их и принимая во внимание (80.8), получаем: откуда

Коэффициент полезного действия в цикле Карно. Из приведенного анализа кругового процесса Карно следует, что при его посредстве нельзя полностью превратить заимствованную от нагревателя теплоту в механическую энергию. Часть этого тепла непременно должна быть передана холодильнику — телу с более низкой, чем у нагревателя, температурой.

Если количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, равно а в работу преобразована часть этой теплоты, то отношение

представляет собой коэффициент полезного действия кругового процесса (точнее — машины, работающей по этому процессу). Как это видно из формулы (80.11), коэффициент полезного действия цикла но определяется равенством:

Коэффициент полезного действия (к. п. д.), следовательно, всегда меньше единицы и зависит от соотношения между температурами нагревателя и холодильника.

Цикл Карно, рассмотренный нами, был на всех своих стадиях проведен так, чтобы нигде не было соприкосновения тел с различными температурами, что исключает возможность необратимых процессов теплопроводности. Изменения объема рабочего тела также проводились обратимым путем, что, как мы знаем, обеспечивает максимум совершаемой при этом работы (см. § 23). Это значит, что были обеспечены наилучшие условия для использования тепловой энергии. Поэтому более высокий к. п. д., чем представленный формулой (80.12), получить принципиально нельзя.

Тепловая машина, работающая при данных значениях температур нагревателя и холодильника, не может иметь к. п. д. больший, чем машина, работающая по обратимому циклу Карно при тех же значениях температур нагревателя и холодильника. (Это утверждение иногда называют первой теоремой Карно.)

Из формулы (80.12) видно, что коэффициент полезного действия цикла Карно не зависит от рода рабочего тела, а только от температур нагревателя и холодильника. (Это утверждение составляет содержание второй теоремы Карно.)

При расчете мы выбрали в качестве рабочего тела идеальный газ только потому, что для него точно известно уравнение состояния, что и позволило легко вычислить величину коэффициента полезного действия.

Тот факт, что коэффициент полезного действия машины, работающей по циклу Карно, максимален, обусловлен, как мы видели (и как более подробно увидим ниже), тем обстоятельством, что этот круговой процесс полностью обратим. Ниже будут приведены общие доказательства обеих теорем Карно.