Математика на то полезна что она ум в порядок

      IV. И КАК МАТЕМАТИКУ УЧИТЬ СЛЕДУЕТ (ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ)

     

      I. ИНТЕРЕС

      У читателя вполне естественно может возникнуть вопрос: почему название этого послесловия начинается с союза «и»?

      Союз «и» соединяет здесь название книги с названием послеслованя: «Как математика ум в порядок приводит и как математику учить следует», а для полного и явного выражения мысли надо было бы еще добавить: «чтобы она ум в порядок приводила».

      Не надо думать, что математика сама по себе «ум в порядок приводит» независимо от того, как мы ее изучаем. Тема «как математику учить следует» не менее обширна, чем та, которой посвящена эта небольшая книга, и, бесспорно, заслуживает детального рассмотрения в отдельной, специально предназначенной для этой цели книге. Не можем, однако, закончить размышления на тему, как математика ум в порядок приводит, ничего не говоря о том, как математику учить следует, чтобы она ум в порядок приводила.

      Мы ограничимся в этом послесловии лишь формулировной и разъяснением некоторых принципов, лежащих в основе того, как математику учить следует.

      Автор будет ссылаться при этом на концепцию изучения математики, принадлежащую выдающемуся венгерскому математику н педагогу, большая часть плодотворной научной и педагогической деятельности которого проходила в Стенфордском университете (США). В этом небольшом городе, известном именно своим знаменитым университетом, в декабре 1987 г., на 98-м году жизни скончался Дъерд (Джордж) Пойа. Три переведенные на русский язык его книги по проблемам изучения и преподавания математики («Как решать задачу?», «Математика и правдоподобные рассуждения» и «Математическое открытие») — бесспорно лучшие книги по этим проблемам в мировой литературе.

      Кроме того, автор исходит также из сноего собственного большого опыта непрерывного изучения математики, обучения других этому предмету и подготовки учителей математики.

      Каковы же эти основополагающие принципы эффективного изучения математики?

      Учить математику, не питая особого интереса к ней, «из-под палки», бесполезная трата времени. По-видимому, это относится и к любой другой области знаний. Однако, когда речь идет о математике, то интерес к ней — важнейший помойник в преодолении возникающих в процессе ее изучения трудностей, в мобилизации всех умственных и физических сил для достижения этой цели.

      Но откуда берется интерес к математике? Это не врожденное качество, хотя о выдающемся математическом, как и о музыкальном, таланте говорят, что он «от бога», т. е. запрограммирован в генах человека. Интерес к математике воспитуем и даже самовосии-туем. Прежде всего он может воспитываться извне:

      увлеченным математикой учителем (кому повезет иметь такого учителя), или ближайшей средой, родителями, старшим братом или другом, уже успевшим полюбить эту, казалось бы довольно непривлекательную, науку. Но это внешнее побуждение — лишь стимул, толчок к внутреннему, к воспитанию у себя интереса к математике.

      Нужна сила воли для преодоления возникающих на первых порах трудностей. Иначе может создаться мнение о неспособности к успешному изучению математики, а математика представится скучнейшей, «непробиваемой» наукой. Тогда и возникает вопрос: зачем нужна математика? У того же, кто ею интересуется, такой вопрос никогда не возникнет.

      Академик Андрей Николаевич Колмогоров (1903— 1987), выдающийся математик XX века, в одном из своих выступлений разделил студентов, изучающих математику, на три категории. К первой, самой малочисленной (к сожалению!) он отнес студентов, которые изучают математику, не думая о том, нужна ли она им. Единственным стимулом для ее изучения является интерес к ней. Студенты второй категории изучают математику, потому что сознают, что она нужна им для будущей профессии. К третьей, самой многочисленной (тоже к сожалению!) относятся студенты, которые учат математику, чтобы получить стипендию.

      Вообще, для учения имеется много стимулов. «Однако,— считает Д. Пойа,— самым хорошим стимулом для учения является интерес, который вызывает у учащегося изучаемый материал, а лучшей наградой за интенсивную умственную деятельность — наслаждение, доставляемое такой деятельностью» («Математическое открытие.—М.: Наука, 1976.—С. 291). Этот принцип Д. Пойа назвал «Наилучший стимул».

      Иногда говорят, что у кого-то хорошие теоретические знания, но он не умеет их применять на практике. Возможно, что в какнх-то областях науки такое разделение знаний и умений имеет смысл. В математике же такое разделение невозможно. Здесь знать, значит уметь.

      Д. Пойа следующим образом определяет понятие умения: «Умение в математике — это способность решать задачи, находить доказательства, критически анализировать доводы, с достаточной легкостью пользоваться математическим аппаратом, распознавать математические понятия в конкретных ситуациях» («Математическое открытие».— М.: Наука. 1976.— С. 302). Но находить доказательства — это тоже задача, и критический анализ доводов — задача. Использование математического аппарата характерно для решения задач. Распознавание математических понятий в конкретных ситуациях необходимо для построения математических моделей этих ситуации, а также для решения задач специфического вида. Таким образом, перефразировав определение Пойа, можно сказать, что умение в математике означает в конечном итоге способность решать задачи в самом широком понимании слова «задача».

      Математические знания всегда проверялись, проверяются и будут проверяться через умение решать задачи. И именно это умение более всего способствует развитию ума. Поэтому вопрос, как математику уч»гть следует, по существу, сводится к вопросу, как научиться решать задачи.

      Прежде всего надо уточнить, какие задачи имеются в виду. Конечно же не задачи, непосредственно решаемые с помощью известных алгоритмов, называемые иногда стандартными (например, «найти площадь прямоугольника с основанием 10 см и высотой 5 см»).

      Речь идет о так называемых нестандартных задачах, порождающих необходимость поиска решения, использования разнообразных эвристических приемов. Именно эти задачи бросают вызов интеллекту, а стало быть развивают его.

      Отдавая предпочтение нестандартным задачам, мы вовсе не ратуем за полное исключение стандартных задач. Без умения решать стандартные задачи, т. е. без знания соответствующих алгоритмов, нельзя научиться решать нестандартные задачи, так как решение последних, после более или менее сложных, а порой «хитроумных» рассуждений, сводится к решению некоторых стандартных задач. Хорошо известны, например, достаточно сложные уравнения, приводящиеся к каадратным, уже стандартным уравнениям.

      Где же взять такие нестандартные задачи? В школьных учебниках их мало, и они обычно содержатся только в разделе «Задачи повышенной трудности». Но есть журнал «Кваит», постоянно публикующий как хорошие нестандартные задачи, так н специальные приемы поиска решения определенных их классов. Выпускается серия под названием «Задачник «Кванта»», имеются и сборники олнмпиадных задач разного уровня (республиканских, всесоюзных, международных олимпиад). Немало задач содержится в книге Д. Пойа «Математическое открытие».

      Как же научиться решать задачи? Только в процессе самостоятельного нх решения, причем задач должно быть как можно больше. Возникновение трудностей неизбежно. Хорошую задачу очень редко удается решить сразу, как говорят, «с первого захода». Преодолевать возникающие трудности помогает интерес к решаемой задаче, поэтому мы н поставили его на первое место.

      Иногда к одной и той же задаче приходится возвращаться многократно, испробовать различные стратегии поиска. Бывает и так, что после многих безуспешных попыток и долгих размышления, когда уже не думаешь о задаче, неожиданно появляется решение, иногда даже во сне. Этот феномен психологи называют озарением. Однако это явление не происходит на пустом месте, без длительных, усиленных размышлений. При достаточно большом опыте новые задачи иногда уже не вызывают таких больших трудностей, так как среди ранее решенных могут оказаться похожие на них или такие, к которым они сводятся. Важно после решения каждой задачи проанализировать пройденный путь, способ решения, приемы поиска, все то, что может оказаться полезным для рассмотрения задач. Этот заключительный этап процесса решения задачи Пойа называет взглядом назад.

      Приемы и методы решения фиксируются не только памятью, но и, что особенно важно, мышлением, которые таким образом обогащаются новыми, порой оригинальными, нестандартными, специфическими для математики способами рассуждений. Происходит постепенное развитие математического мышления.

      Участие в математических олимпиадах разного уровня, т. е. соревнованиях с жесткими условиями выполнения заданий за определенное время, требует достаточного опыта решения задач, развитого математического мышления.

      Рассказывают, что однажды академик А. Н. Колмогоров наблюдал в МГУ за работой участников математической олимпиады и прикидывал, как решается одна из предложенных задач. В это время один мальчик первым закончил работу, причем дал оригинальное решение этой, по мнению академика, сложной задачи. Андрей Николаевич, восхищенный этим решением, заметил: «Надо бы этому мальчику предложить «Великую теорему Ферма»!».

      Напомним удивительную историю этой проблемы, которую за три с лишним столетия самые блестящие математические умы не могут решить. (Кто знает, может быть кто-нибудь из читателей этой книги когда-нибудь решит ее!) Французский математик, юрист по образованию Пьер Ферма (1601 —1665) написал на полях одной книги: «Я открыл тому по-истнне чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки», а речь он вел о доказательстве следующего предложения: «Уравнение хп + у» = -г» при м 2 не имеет решений в натуральных числах л у, г». получившего впоследствии название «Великая теорема Ферма». «Великая», разумеется, потому, что до сих пор никто не нашел это доказательство.

      Многочисленные исследования имели в качестве результата доказательство этого предложения лишь для отдельных значений п. Некоторым математикам казалось, что они нашли общее доказательство, но впоследствии в этих доказательствах обнаружились ошибки.

      Может быть, и сам Ферма ошибся и это предложение не верно. Но тогда нужно найти хотя бы одно значение п(п 2), для которого существует тройка (х, у, z) натуральных чисел, удовлетворяющая это уравнение. Однако и такой контрпример не найден. С помощью ЭВМ удалось проверить справедливость утверждения для большого числа значений п. Но это опять-такн не доказательство. И до сих пор никому не удалось найти доказательство, о котором в середине XVII века объявил П. Ферма. (Более подробно о великой теореме Ферма, о других удивительных историях и математических проблемах читатель может узнать в Энциклопедическом словаре юного математика (М.: Педагогика,— 1985)).

     

      3. «ИЗОБРЕТЕНИЕ ВЕЛОСИПЕДА»

      Обычно, когда кто-то открывает или изобретает то, что уже давно открыто или изобретено, говорят, что он «изобрел велосипед». Однако, когда «открытие» делается в процессе учения, т. е. учащийся открывает для себя то, что уже давно открыто в науке, он рассуждает как первооткрыватель. И это главное.

      Один известный ученый говорил, что в начале он открывал то, что всем было известно, затем он стал открывать то, что лишь немногим было известно, и только после этого он открыл что-то такое, что никому не было известно.

      Когда-то ученик 6-го класса И. Гельфэнд, обратив внимание на прямоугольные треугольники со сторонами 3, 4, 5 и 5, 12, 13, захотел найти все прямоугольные треугольники с целыми сторонами и вывел общую формулу для их сторон, т. е. нашел все так называемые Пифагоровы тройки (все такие тройки взаимно простых чисел можно получить по формулам х = гпг — — пг; у = 2тп; г = т»2—п2). Но этот шестиклассник тогда не знал ни термина «Пифагоровы тройки», ни то, что математики древней Греции уже знали все эти тройки чисел. По существу, он тогда «изобрел велосипед», но теперь бывший шестиклассник — академик И. М. Гельфянд—один из крупнейших математиков современности, лауреат Ленинской, Государственных и многих международных премий, член зарубежных академий, Почетный доктор Оксфордского, Парижского. Гарвардского и других университетов.

      И маленький, шестилетний Колмогоров тоже «изобрел велосипед», открыв закономерность, о которой говорится в эпиграфе к данному послесловию. При этом он, по словам самого Андрея Николаевича, испытал «радость математического открытия».

      Не случайно двух упомянутых выше выдающихся математиков объединяет одна общая черта — забота о математическом воспитании школьников, о повышении интереса учащихся к математике. А. Н. Колмогоров был основателем физико-математической школы-194

      интерната при МГУ, председателем научно-методического совета школы н сам преподавал в ней. И. М. Гель-фанд—основатель Всесоюзной заочной математической школы н председатель ее научного совета.

      Как видно, выражение «изобрести велосипед», которое иногда воспринимается с негативным оттенком, при использовании для обозначения одного из принципов современного преподавания и изучения математики имеет явно положительный смысл. Это и есть принцип активного изучения, по выражению Д. Пойа. Именно оно дает эффект «приведения ума в порядок».

     

      4. ПОИСК РЕШЕНИЯ И РАДОСТЬ ОТКРЫТИЯ

      Было бы несправедливо по отношению к читателю закончить это послесловие, не давая ему возможности испытать напряженность поиска и радость открытия. Наиболее подходящий для этой цели материал — нестандартные задачи. В дальнейшем, говоря «задачи», будем иметь в виду именно такие задачи.

      Как же вести поиск решения задач?

      Поиск может быть «слепым», т. е. можно искать решение вслепую, не учитывая заложенной в условиях задачи «эвристической информации, подсказывающей перспективное направление (стратегию) поиска. Такой поиск, хотя и может иногда привести к открытию способа решения, чате всего заводит в тупик или связан с большим объемом рассуждений. Это объясняется тем, что, ведя поиск вслепую, решающий задачу стремится найти решение без глубокого анализа условий и поэтому ему бросается в глаза то, что находится на поверхности, а рациональный, нестандартный способ решения обычно «зарыт глубоко, его надо еще «раскопать». Дальше мы убедимся в этом на конкретных примерах.

      KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ