Новые и полезные для решения задач факты это
Анна Малкова
Полезные факты для решения задач ЕГЭ по геометрии (ЕГЭ по математике, Часть 2, профильный уровень).
Как научиться решать задачи ЕГЭ по геометрии (задача 16, Профильный уровень)?
Школьные учебники геометрии (Л. С. Атанасян, А. Г. Мерзляк…) неплохие. Даже лучше, чем по алгебре. Однако в них нет задач из вариантов ЕГЭ. Непонятно, как по ним готовиться к ЕГЭ, на что обращать внимание. Да и нет времени в 11-м классе заново читать учебник и решать все задачи подряд.
В освоении планиметрии важен правильный подход. Многие начинают с реальных задач ЕГЭ, а когда не получается, чувствуют разочарование. Не стоит так делать.
Первый этап: выучите теорию. Определения, теоремы, признаки. Основные формулы. Например, для площади треугольника нам нужны 5 формул. Помните их? Все они применяются в решении задач. Теоремы синусов и косинусов. Свойства высот, медиан и биссектрис. И многое другое.
В этом вам поможет Полный справочник Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике. Именно то, что нужно для решения задач ЕГЭ. Ничего лишнего. А цветные картинки запоминаются сами собой.
И конечно, практика! Решаем задачи ЕГЭ. Сначала – Часть 1, задачи 3 и 6. Не меньше 50 задач первой части ЕГЭ по теме «Планиметрия» надо решить, чтобы выучить и уметь применять теоремы и формулы планиметрии.
Изучить планиметрию и потренироваться в решении задач можно на нашем Онлайн-курсе.
Задачи, решения, видеоразбор.
Отлично, освоили задачи по планиметрии 1 части Профильного ЕГЭ по математике. Пора переходить ко второй! К задаче 16. Но не будем спешить. Пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ по математике – доказательство. А вы знаете, что пункт (а) нужен не только для того, чтобы вы получили один из трех баллов за эту задачу? Что во многих задачах ЕГЭ №16 пункт (а) содержит идеи для решения пункта (б). Намеки на то, как решить задачу полностью. Надо научиться доказывать всевозможные утверждения планиметрии.
Мы публикуем для вас новый и ценный материал — доказательство полезных фактов. Это и повторение всего курса (7-9 класс), и «заготовки» для многих задач ЕГЭ.
Приведем список из 32 полезных фактов. Докажите их самостоятельно и проверьте решения по ссылкам.
Для большинства этих полезных фактов приведены примеры решения задач и первой, и второй части Профильного ЕГЭ по математике.
Углы, треугольники, четырехугольники
1. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
2. Свойство медианы прямоугольного треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма.
4. Площадь выпуклого четырехугольника
5. Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей
6. Свойства равнобедренной трапеции
7. Замечательное свойство трапеции.
8. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
9. Свойства биссектрис треугольника.
10. Свойства медиан треугольника
11. Свойство высот треугольника.
Окружности
12. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
13. Теорема о пересекающихся хордах.
14. Теорема о серединном перпендикуляре к хорде.
15. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
16. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
17. Угол между касательной и хордой.
18. Теорема о секущей и касательной.
19. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
20. Угол между двумя секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
21. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, равен .
22. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
23. Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и , то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и
24. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов.
25. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
26. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.
27. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС.
28. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.
29. Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L, M, а угол ВАС равен , то угол KLM .
30. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S.
31. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна .
32. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
*При составлении списка полезных фактов использованы учебные пособия Р. К. Гордина.
Источник
В задаче 16 ЕГЭ по математике (геометрия) пункт (а) – доказательство. Вот 30 полезных фактов, которые надо знать и уметь доказывать. Любой из них может быть таким «пунктом (а)» в задаче ЕГЭ №16. Доказательство таких полезных фактов – первый этап в освоении геометрии.
Углы, треугольники, четырехугольники
1. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
2. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
5. Площадь любого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
7. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.
8.Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии.
Окружности
9. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам
10. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.
11. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
12. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния
13. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
14. Теорема о касательной и секущей. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.
15. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
16. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
17. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
18. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, равен
19. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
20. Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и а > R+r, то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и
21. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусов.
22. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
23. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.
24. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под прямым углом (угол АМВ = 90 градусов), есть окружность с диаметром АВ без точек А и В.
25. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей с общей хордой АВ, без точек А и В.
26. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС.
27. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.
28. Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L, M, а угол ВАС равен φ, то угол KLM равен
29. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S.
30. Если АМ и СК – высоты треугольника АВС, то треугольник МВК подобен треугольнику АВС, причем коэффициент подобия равен |cos В|.
31. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна
Доказывайте полезные факты. Запоминайте картинки и схемы решения. Чем больше у вас таких ассоциативных связей – тем проще решаются задачи по геометрии.
При составлении списка полезных фактов использованы учебные пособия Р. К. Гордина.
Источник
B этой статье:
Kак научиться решать задачи ЕГЭ по планиметрии? Пошаговая методика
Полезные факты и классические схемы для решения задач по планиметрии.
Приемы и секреты решения задач по планиметрии
«B учебнике нет, а на экзамене есть». На какие теоремы стоит обратить внимание
Решения заданий № 16 Профильного ЕГЭ по математике
Mногие старшеклассники считают, что могут обойтись без знания планиметрии. Что, занимаясь только алгеброй, смогут сдать ЕГЭ на высокие баллы и поступить в выбранный вуз.
Работает ли эта стратегия?
Oтвет преподавателей-экспертов: нет, не работает. На ЕГЭ вам может встретиться сложное неравенство (задание 15) и тем более — сложная «экономическая» задача. Так было в 2018 году. И всё, баллов фатально не хватает! Тех самых баллов, которые можно было легко получить за планиметрическую задачу, не хватает для поступления!
Cтоит учесть, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии бывают намного проще, чем по алгебре.
И сейчас — самое главное о задаче 16 (Планиметрия).
1) Cамое важное — правильная методика подготовки. Не нужно начинать с реальных задач ЕГЭ. Cначала — теория. Cвойства геометрических фигур. Oпределения и теоремы. Bсе это вы найдете в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Ничего лишнего там нет. Учите наизусть.
Лучшая тренировка на этом этапе — задания №3 и №6 из первой части ЕГЭ по математике
2) Задача 16 Профильного ЕГЭ по математике оценивается в 3 первичных балла и состоит из двух пунктов. Первый пункт — доказательство. Здесь нам помогут наши «домашние заготовки» — полезные факты, которые мы учимся доказывать задолго до экзамена. A на ЕГЭ остается только вспомнить и записать решение.
Bот список из 32 полезных фактов — и их доказательства. Да, это первый этап освоения планиметрии. Доказав все эти полезные факты, вы обнаружите, что пункт (а) задачи 16 перестал быть для вас проблемой.
3) Oказывается, многие задачи по планиметрии строятся по одной из так называемых классических схем. Учите их наизусть! И конечно, доказывайте! Лучше всего начинать именно с задач на доказательство.
4) Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу — а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы. A вы их знаете? Если нет — выучите.
5.) Любая задача из варианта ЕГЭ решается без сложных формул. И если вы не помните теорему Чевы, теорему Mенелая и другую экзотику — вам это и не понадобится. Только то, что есть в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Зато знать это надо наизусть.
6) Геометрия, конечно, это не алгебра, и готовых алгоритмов здесь намного меньше. Зато, когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур — у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи дан радиус вписанной окружности. B каких формулах он встречается? — Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника.
7) Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. A это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым. Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б). Так, например, было на Досрочном ЕГЭ. Простейший пункт (а), и в нем «спрятана» идея: в пункте (б) ищите вписанные в окружность четырехугольники.
Перейдем к практике. Разберем несколько реальных задач Профильного ЕГЭ под номером 16. Больше планиметрии — на интенсивах ЕГЭ-Cтудии и на Oнлайн-курсе.
Начнем с интересного приема. Бывает, что в задаче значимые отрезки пересекаются вот такой буквой Ж. Или вот такой буквой Х Хорошо, если мы можем перестроим это Ж или Х в треугольник. Например, провести какие-нибудь отрезки, параллельные и равные (или пропорциональные) нашим.
1. (ЕГЭ — 2017)
Oснования трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Посмотреть решение
Следующая задача — на применение одной из наших классических схем
2. B остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и
Посмотреть решение
3. (ЕГЭ-2020, Демо-вариант).
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Посмотреть решение
B следующей задаче больше алгебры, чем геометрии. Действительно, бывает так, что планиметрическая задача быстро сводится к уравнению или системе уравнений.
4. Параллелограмм ABCD и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.
Посмотреть решение
5. B прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если
Посмотреть решение
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 2, задача 16
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 4, задача 16
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 16
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 16
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 12, задача 16
Надеемся, что статья была для вас полезной. Что вы возьметесь за планиметрию и получите на экзамене необходимые баллы. Удачи вам!
Источник
Согласно результатам исследования, проведенного американской компанией Dell EMC, объем мировой информации увеличивается более чем в 2 раза каждые 2 года и уже измеряется зеттабайтами. Только представьте себе: 1 зеттабайт получится, если все жители США будут печатать по 2 твита в минуту 30 тыс. лет без передышки. Казалось бы, оперируя такими объемами знаний, при этом легкодоступных благодаря интернету, люди должны были давно стать гениями. Однако ситуация складывается едва ли не с точностью до наоборот. И в этой статье мы расскажем почему.
AdMe.ru собрал несколько научных фактов, объясняющих, при каких условиях информация работает на повышение интеллекта, а при каких просто захламляет сознание.
Итак, современный мир перенасыщен информацией, но проблема в том, что используется она не слишком рационально. Одним из основных критериев, по которым всегда оценивали информацию, была возможность ее практического применения. Если вы не используете получаемую информацию, то попросту зашлаковываете свое сознание ненужными данными.
Согласно опросам, лишь 13 % пользователей применяют цифровые технологии и доступ к ресурсам для самообразования, а работодатели по всему миру бьют тревогу из-за синдрома выгорания и низкой эффективности своих суперпрофессиональных с точки зрения цифровой грамотности сотрудников.
Переизбыток бесполезной информации быстро превращает ее из источника мудрости в источник опасности под названием «информационная перегрузка». Когда-то это был научный термин из области когнитивной психологии, а в наши дни он стал расхожей метафорой, которая вышла далеко за пределы науки и теперь обозначает массовое явление.
Почему же эта информационная перегрузка мешает нам стать умнее? Вот основные причины.
1. Поток разнородной информации рассеивает внимание и не дает сосредоточиться на главном
Это доказал эксперимент «Инфомания», который несколько лет назад провел среди офисных сотрудников английский психолог Гленн Уилсон. Часть из них занималась своими прямыми обязанностями, а часть постоянно прерывалась на СМС, звонки и проверку почты. В конце дня анализ IQ показал, что у испытуемых из 2-й группы он был снижен на 10 пунктов.
И действительно, в наши дни проверка электронной почты стала синонимом работы. Согласно докладу «Социальная экономика» Глобального института McKinsey за июль 2012 года, средний работник тратит на управление электронной почтой 28 % своего рабочего дня. Времени на обучение, получение новых знаний и обретение новых навыков попросту не остается.
2. Доступность информации избавляет от необходимости ее запоминать
Ученые из Колумбийского университета обнаружили, что люди лучше запоминают источник информации (папки, диски, сайты), чем саму эту информацию. Они провели эксперимент, в ходе которого студентам поручили напечатать несколько простых фактов (например, что мозг страуса меньше, чем его глаз), но половине участников как бы между прочим сказали, что их файлы после работы не будут сохранены. Второй группе об этом ничего не сообщили, поэтому испытуемые были уверены, что смогут вновь перечитать файл.
Когда чуть позже участников эксперимента попросили воспроизвести эти факты, выяснилось, что их запомнили только те студенты, которые знали, что не смогут вернуться к информации позже. Остальные же, подсознательно уповавшие на компьютерный архив, все факты напрочь забыли. Увы, сегодня информацию пассивно потребляют, но не хранят в памяти.
3. Обилие информации оказывает негативное влияние не только на память, но и на весь мыслительный процесс в целом
Что удивительно, эту идею высказал не кто иной, как исполнительный директор Google Эрик Шмидт. По его мнению, современные цифровые устройства и обилие информации, которой они захлестывают людей, могут препятствовать глубокому мышлению, пониманию, формированию воспоминаний и в конечном итоге затрудняют обучение.
Американский писатель, ученый-публицист и бывший редактор Harvard Business Review Николас Карр поддерживает идею о негативном эффекте цифрового гипертекста, считая, что он приводит к фрагментации знаний. При поиске информации в интернете контекст этой информации часто игнорируется. «Мы не видим даже деревьев, мы видим ветки и листья», — пишет Карр.
Таким образом, информационная перегрузка приводит к когнитивной (мыслительной) перегрузке, из-за чего снижается способность человека не только запоминать информацию, но и сопоставлять ее с опытом, хранящимся в долговременной памяти, что делает мысли рассеянными и поверхностными.
4. Однообразие подачи и потребления информации снижает эффективность ее восприятия
Все мы еще со школьной скамьи помним, что существует 3 канала восприятия информации: аудиальный (слух), визуальный (зрение) и кинестетический (тактильные ощущения). И любая информация лучше всего запоминается, если использовать все 3 канала: услышать, прочитать и записать.
При получении информации из интернета, как правило, задействован только визуальный канал, в меньшей степени — аудиальный, а кинетический и вовсе не используется.
Так, доцент Университета Индианы Карин Харман Джеймс доказала, что студенты лучше запоминают информацию, которую переписали, чем ту, которую напечатали на клавиатуре, что уж говорить об информации, которую просто прочли и тем более просканировали взглядом?
5. Недоверие к данным снижает мотивацию к их удержанию в памяти
Обилие информации, простота и скорость ее распространения и удобство манипулирования ею вполне естественно снизили доверие к ней у населения. Опросы показывают, что из всех источников информации больше всего доверяют библиотекам, в то время как интернет-источники и в первую очередь соцсети находятся в самом низу рейтингов.
6. Новые технологии вызывают социальную изоляцию и препятствуют обмену опытом
Даже сегодня, несмотря на повальное распространение онлайн-курсов, все основные программы обучения реализуются очно, и это неслучайно: обучение в коллективе дисциплинирует и синхронизирует учащихся, в результате те, кто не готов, постепенно подтягиваются за остальными. Это важный фактор обучения.
Не менее важен и личный обмен знаниями и опытом, обретение того самого коллективного духа, а также формирование навыков эмпатии и, следовательно, развитие эмоционального интеллекта. Все это невозможно получить в отсутствие полного зрительного контакта, интерпретации голосового тона или языка тела.
7. Бесконечный серфинг в море информации не оставляет времени на другие аспекты развития
Виртуальный мир неслучайно ассоциируется со словом «Вселенная». Он так же бесконечен, а цикличность производимых в нем действий приводит к полному растворению в информационном потоке: почта, мессенджеры, новости, лента друзей, уведомление о новом письме — все, круг замкнулся.
С этой точки зрения даже телевизор — высшее благо, так как количество TV-каналов хотя бы поддается исчислению. Рано или поздно они наскучат и вы оторветесь от экрана, чтобы вернуться в мир, где надо учиться водить автомобиль, разбираться в маркировках подгузников, перекрывать потекший кран и делать еще множество вещей, не таких информационно наполненных, как интернет-серфинг, но, как выяснилось, куда более эффективных для повышения нашего IQ.
Иными словами, у цифрового мира есть не только огромные преимущества, но и весомые недостатки. И все же в другом нам жить не доведется, а значит, надо просто учитывать все плюсы и минусы такого порядка вещей и учиться жить в условиях бесконечного информационного потока, контролируя и себя, и его.
А как вы относитесь к такому объему информации вокруг? Вам она больше помогает или мешает?
Источник