Полезная мощность выделяемая во внешней цепи
ЗАКОН ОМА ДЛЯ ПОЛНОЙ ЦЕПИ:
, (1)
I- сила тока в цепи; Е- электродвижущая сила источника тока, включённого в цепь; R- сопротивление внешней цепи; r- внутреннее сопротивление источника тока.
МОЩНОСТЬ, ВЫДЕЛЯЕМАЯ ВО ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ
. (2)
Из формулы (2) видно, что при коротком замыкании цепи (R®0) и при R®
эта мощность равна нулю. При всех других конечных значениях Rмощность Р1> 0. Следовательно, функция Р1 имеет максимум. Значение R0, соответствующее максимальной мощности, можно получить, дифференцируя Р1 по R и приравнивая первую производную к нулю:
. (3)
Из формулы (3), с учётом того, что R и r всегда положительны, а Е ? 0, после несложных алгебраических преобразований получим:
R0 = r. (4)
Следовательно, мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наибольшего значения при сопротивлении внешней цепи равном внутреннему сопротивлению источника тока.
При этом сила тока в цепи 
(5)
равна половине тока короткого замыкания. При этом мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает своего максимального значения, равного
. (6)
Когда источник замкнут на внешнее сопротивление, то ток протекает и внутри источника и при этом на внутреннем сопротивлении источника выделяется некоторое количество тепла. Мощность, затрачиваемая на выделение этого тепла равна
. 
(7)
Следовательно, полная мощность, выделяемая во всей цепи , определится формулой
= I2(R+r) = IE (8)
КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ
КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ источника тока равен 
. (9)
Из формулы (8) следует, что
, (10)
т.е. Р1 изменяется с изменением силы тока в цепи по параболическому закону и принимает нулевые значения при I = 0 и при 
. Первое значение соответствует разомкнутой цепи ( R>> r ), второе – короткому замыканию ( R<< r). Зависимость к.п.д. от силы тока в цепи с учётом формул (8), (9), (10) примет вид
(11)
Таким образом, к.п.д. достигает наибольшего значения h =1 в случае разомкнутой цепи ( I = 0), а затем уменьшается по линейному закону, обращаясь в нуль при коротком замыкании.
Зависимость мощностей Р1, Рполн = EI и к.п.д. источника тока от силы тока в цепи показаны на рис.1.
Рис.1. I0 E/r
Из графиков видно, что получить одновременно полезную мощность и к.п.д. невозможно. Когда мощность, выделяемая на внешнем участке цепи Р1, достигает наибольшего значения, к.п.д. в этот момент равен 50%.
МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ
Рис. 2.
Соберите на экране цепь, показанную на рис. 2. Для этого сначала щелкните левой кнопкой мыши над кнопкой 
э.д.с. в нижней части экрана. Переместите маркер мыши на рабочую часть экрана, где расположены точки. Щелкните левой кнопкой мыши в рабочей части экрана, где будет расположен источник э.д.с.
Разместите далее последовательно с источником резистор, изображающий его внутреннее сопротивление (нажав предварительно кнопку 
в нижней части экрана) и амперметр (кнопка 
там же). Затем расположите аналогичным образом резисторы нагрузки и вольтметр 
, измеряющий напряжение на нагрузке.
Подключите соединительные провода. Для этого нажмите кнопку провода 
внизу экрана, после чего переместите маркер мыши в рабочую зону схемы. Щелкайте левой кнопкой мыши в местах рабочей зоны экрана, где должны находиться соединительные провода.
4. Установите значения параметров для каждого элемента. Для этого щелкните левой кнопкой мыши на кнопке со стрелкой 
. Затем щелкните на данном элементе. Подведите маркер мыши к движку появившегося регулятора, нажмите на левую кнопку мыши и, удерживая ее в нажатом состоянии, меняйте величину параметра и установите числовое значение, обозначенное в таблице 1 для вашего варианта.
Таблица 1. Исходные параметры электрической цепи
Номер варианта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Е, В | 10,0 | 9,5 | 9,0 | 8,5 | 8,0 | 8,5 | 9,0 | 9,5 |
r, Ом | 4,8 | 5,7 | 6,6 | 7,5 | 6,4 | 7,3 | 8,2 | 9,1 |
5. Установите сопротивление внешней цепи 2 Ом, нажмите кнопку «Счёт» и запишите показания электроизмерительных приборов в соответствующие строки таблицы 2.
6. Последовательно увеличивайте с помощью движка регулятора сопротивление внешней цепи на 0,5 Ом от 2 Ом до 20 Ом и, нажимая кнопку «Счёт», записывайте показания электроизмерительных приборов в таблицу 2.
7. Вычислите по формулам (2), (7), (8), (9) Р1, Р2, Рполн и h для каждой пары показаний вольтметра и амперметра и запишите рассчитанные значения в табл.2.
8. Постройте на одном листе миллиметровой бумаге графики зависимости P1 = f(R), P2 = f(R), Pполн=f(R), h = f (R) и U = f(R).
9. Рассчитайте погрешности измерений и сделайте выводы по результатам проведённых опытов.
Таблица 2. Результаты измерений и расчётов
R, Ом | 2,0 | 2,5 | 3,0 | … | 20 |
U, В | |||||
I, А | |||||
P1, Вт | |||||
P2, ВТ | |||||
Pполн, ВТ | |||||
h |
Вопросы и задания для самоконтроля
- Запишите закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах.
- Что такое ток короткого замыкания?
- Что такое полная мощность?
- Как вычисляется к.п.д. источника тока?
- Докажите, что наибольшая полезная мощность выделяется при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений цепи.
- Верно ли утверждение, что мощность, выделяемая во внутренней части цепи, постоянна для данного источника?
- К зажимам батарейки карманного фонаря присоединили вольтметр, который показал 3,5 В.
- Затем вольтметр отсоединили и на его место подключили лампу, на цоколе которой было написано: Р=30 Вт, U=3,5 В. Лампа не горела.
- Объясните явление.
- При поочерёдном замыкании аккумулятора на сопротивления R1 и R2 в них за одно и то же время выделилось равное количество тепла. Определите внутреннее сопротивление аккумулятора.
Источник
8.5. Тепловое действие тока
8.5.1. Мощность источника тока
Полная мощность источника тока:
P
полн = P
полезн + P
потерь,
где P
полезн — полезная мощность, P
полезн = I
2R; P
потерь — мощность потерь, P
потерь = I
2r; I — сила тока в цепи; R — сопротивление нагрузки (внешней цепи); r — внутреннее сопротивление источника тока.
Полная мощность может быть рассчитана по одной из трех формул:
P
полн = I
2(R + r), Pполн=ℰ2R+r, P
полн = Iℰ,
где ℰ — электродвижущая сила (ЭДС) источника тока.
Полезная мощность — это мощность, которая выделяется во внешней цепи, т.е. на нагрузке (резисторе), и может быть использована для каких-то целей.
Полезная мощность может быть рассчитана по одной из трех формул:
P
полезн = I
2R, Pполезн=U2R, P
полезн = IU,
где I — сила тока в цепи; U — напряжение на клеммах (зажимах) источника тока; R — сопротивление нагрузки (внешней цепи).
Мощность потерь — это мощность, которая выделяется в источнике тока, т.е. во внутренней цепи, и расходуется на процессы, имеющие место в самом источнике; для каких-то других целей мощность потерь не может быть использована.
Мощность потерь, как правило, рассчитывается по формуле
P
потерь = I
2r,
где I — сила тока в цепи; r — внутреннее сопротивление источника тока.
При коротком замыкании полезная мощность обращается в нуль
P
полезн = 0,
так как сопротивление нагрузки в случае короткого замыкания отсутствует: R = 0.
Полная мощность при коротком замыкании источника совпадает с мощностью потерь и вычисляется по формуле
Pполн=ℰ2r,
где ℰ — электродвижущая сила (ЭДС) источника тока; r — внутреннее сопротивление источника тока.
Полезная мощность имеет максимальное значение в случае, когда сопротивление нагрузки R равно внутреннему сопротивлению r источника тока:
R = r.
Максимальное значение полезной мощности:
Pполезнmax=0,5Pполн,
где P
полн — полная мощность источника тока; Pполн=ℰ2/2r.
В явном виде формула для расчета максимальной полезной мощности выглядит следующим образом:
Pполезнmax=ℰ24r.
Для упрощения расчетов полезно помнить два момента:
- если при двух сопротивлениях нагрузки R
1 и R
2 в цепи выделяется одинаковая полезная мощность, то внутреннее сопротивление источника тока r связано с указанными сопротивлениями формулой
r=R1R2;
- если в цепи выделяется максимальная полезная мощность, то сила тока I
*
в цепи в два раза меньше силы тока короткого замыкания i:
I*=i2.
Пример 15. При замыкании на сопротивление 5,0 Ом батарея элементов дает ток силой 2,0 А. Ток короткого замыкания батареи равен 12 А. Рассчитать наибольшую полезную мощность батареи.
Решение. Проанализируем условие задачи.
1. При подключении батареи к сопротивлению R
1 = 5,0 Ом в цепи течет ток силой I
1 = 2,0 А, как показано на рис. а, определяемый законом Ома для полной цепи:
I1=ℰR1+r,
где ℰ — ЭДС источника тока; r — внутреннее сопротивление источника тока.
2. При замыкании батареи накоротко в цепи течет ток короткого замыкания, как показано на рис. б. Сила тока короткого замыкания определяется формулой
i=ℰr,
где i — сила тока короткого замыкания, i = 12 А.
3. При подключении батареи к сопротивлению R
2 = r в цепи течет ток силой I
2, как показано на рис. в, определяемый законом Ома для полной цепи:
I2=ℰR2+r=ℰ2r;
в этом случае в цепи выделяется максимальная полезная мощность:
Pполезнmax=I22R2=I22r.
Таким образом, для расчета максимальной полезной мощности необходимо определить внутреннее сопротивление источника тока r и силу тока I
2.
Для того чтобы найти силу тока I
2, запишем систему уравнений:
i=ℰr,I2=ℰ2r}
и выполним деление уравнений:
iI2=2.
Отсюда следует:
I2=i2=122=6,0 А.
Для того чтобы найти внутреннее сопротивление источника r, запишем систему уравнений:
I1=ℰR1+r,i=ℰr}
и выполним деление уравнений:
I1i=rR1+r.
Отсюда следует:
r=I1R1i−I1=2,0⋅5,012−2,0=1,0 Ом.
Рассчитаем максимальную полезную мощность:
Pполезнmax=I22r=6,02⋅1,0=36 Вт.
Таким образом, максимальная полезная мощность батареи составляет 36 Вт.
Источник
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.7.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЗНОЙ МОЩНОСТИ И
КПД ИСТОЧНИКОВ ТОКА
Фамилия И.О. _____________ Группа ______ Дата
______
Введение
Цель данной работы –
экспериментально проверить теоретические выводы о зависимости полезной мощности
и КПД источника тока от сопротивления нагрузки.
Электрическая цепь состоит из
источника тока, подводящих проводов и нагрузки или потребителя тока. Каждый из
этих элементов цепи обладает сопротивлением.
Сопротивление подводящих проводов
обычно бывает очень мало, поэтому им можно пренебречь. В каждом участке цепи
будет расходоваться энергия источника тока. Весьма важное практическое значение
имеет вопрос о целесообразном расходовании электрической энергии.
Полная мощность Р, выделяемая в
цепи, будет слагаться из мощностей, выделяемых во внешней и внутренней частях
цепи: P = I2 ·R + I2·r = I2(R + r). Так
как I(R + r) = ε, то Р =I·ε,
где R
– внешнее сопротивление; r – внутреннее сопротивление; ε – ЭДС источника
тока.
Таким образом, полная мощность,
выделяемая в цепи, выражается произведением силы тока на ЭДС элемента. Эта
мощность выделяется за счет каких-либо сторонних источников энергии; такими
источниками энергии могут быть, например, химические процессы, происходящие в
элементе.
Рассмотрим, как зависит мощность,
выделяемая в цепи, от внешнего сопротивления R, на которое замкнут элемент.
Предположим, что элемент данной ЭДС и данного внутреннего сопротивления r
замыкается внешним сопротивлением R; определим зависимость от R полной мощности
Р, выделяемой в цепи, мощности Ра, выделяемой во внешней части цепи
и КПД.
Сила тока I в цепи выражается по
закону Ома соотношением
Полная мощность, выделяемая в
цепи, будет равна
При увеличении R мощность падает,
стремясь асимптотически к нулю при неограниченном увеличении R.
Мощность, выделяющаяся во внешней
части цепи, равна
Отсюда видно, что полезная
мощность Ра равна нулю в двух случаях – при R = 0 и R = ∞.
Исследуя функцию Ра
= f(R) на экстремум, получим, что Ра достигает максимума при R =
r, тогда
Чтобы убедится в том, что
максимум мощности Ра получается при R = r, возьмем производную Ра
по внешнему сопротивлению
Откуда
По условию максимума требуется
равенство нулю первой производной
r2
= R2
R
= r
Можно убедиться, что при этом
условии мы получим максимум, а не минимум для Ра, определив знак
второй производной .
Коэффициент полезного действия
(КПД) η источника ЭДС это величина отношения мощности Ра,
выделяющейся во внешней цепи, к полной мощности Р, развиваемой источником ЭДС.
В сущности КПД источника ЭДС
указывает, какая доля работы сторонних сил преобразуется в электрическую
энергию и отдается во внешнюю цепь.
Выражая мощность через силу тока
I, разность потенциалов во внешней цепи U и величину электродвижущей силы
ε, получим
То есть КПД источника ЭДС равен
отношению напряжения во внешней цепи к ЭДС. В условиях применимости закона Ома
можно далее заменить U = IR; ε = I(R + r), тогда
Следовательно, в том случае,
когда вся энергия расходуется на Ленц-Джоулево тепло, КПД источника ЭДС равен отношению
внешнего сопротивления к полному сопротивлению цепи.
При R = 0 имеем η = 0. С
увеличением R, КПД возрастает, стремится к значению η=1 при неограниченном
увеличении R, однако при этом мощность, выделяющаяся во внешней цепи, стремится
к нулю. Таким образом, требования одновременного получения максимальной
полезной мощности при максимальном КПД невыполнимы.
Когда Ра достигает
максимума, то η = 50%. Когда же КПД η близок к единице, полезная
мощность мала по сравнению с максимальной мощностью, которую мог бы развивать
данный источник. Поэтому для увеличения КПД необходимо по возможности уменьшать
внутреннее сопротивление источника ЭДС, например, аккумулятора или
динамо-машины.
В случае R = 0 (короткое
замыкание) Ра = 0 и вся мощность выделяется внутри источника. Это
может привести к перегреву внутренних частей источника и выводу его из строя.
По этой причине короткие замыкания источников (динамо-машины, аккумуляторные
батареи) недопустимы!
На рис. 1 кривая 1
дает зависимость мощности Ра, выделяемой во внешней цепи, от
сопротивления внешней части цепи R; кривая 2 дает зависимость от R полной
мощности Р; кривая 3 – ход КПД η от того же внешнего сопротивления.
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться со схемой на стенде.
2. Установить с помощью магазина
сопротивление R = 100 Ом.
3. Замкнуть ключ К.
4. Произвести измерения силы тока в
цепи последовательно для различных девяти сопротивлений на магазине
сопротивлений, начиная от 100 Ом и выше. Внести в таблицу результаты измерений
силы тока, выразив их в амперах.
5. Выключить ключ К.
6. Вычислить для каждого
сопротивления Р, Ра (в ваттах) и η.
7. Построить графики Р, Ра
и η от R.
Контрольные вопросы
1. Что называется КПД источника ЭДС?
2. Вывести формулу КПД источника
ЭДС.
3. Что такое полезная мощность
источника ЭДС?
4. Вывести формулу полезной мощности
источника ЭДС.
5. Чему равна максимальная мощность,
выделяемая во внешней цепи (Ра)max?
6. При каком значении R полная
мощность Р, выделяющаяся в цепи, максимальна?
7. Чему равен КПД источника ЭДС при
(Ра)max?
8. Произвести исследование функции
(Ра) = f(R) на экстремум.
9. Зарисовать график зависимости Р,
Ра и η от внешнего сопротивления R.
10. Что такое ЭДС источника?
11. Почему сторонние силы должны быть
не электрического происхождения?
12. Почему недопустимо короткое
замыкание для источников напряжения?
№ п/п | R, Ом | I·10-3, |
|
|
|
1 | |||||
2 | 100 | ||||
3 | 200 | ||||
4 | 300 | ||||
5 | 400 | ||||
6 | 500 | ||||
7 | 600 | ||||
8 | 700 | ||||
9 | 800 | ||||
10 | 900 |
, Вт
, Вт
r = 300 Ом
Источник
Мощность, развиваемая источником тока во всей цепи, называется полной мощностью.
Она определяется по формуле
где Pоб-полная мощность, развиваемая источником тока во всей цепи, вт;
Е- э. д. с. источника, в;
I-величина тока в цепи, а.
В общем виде электрическая цепь состоит из внешнего участка (нагрузки) с сопротивлением R и внутреннего участка с сопротивлением R0 (сопротивлением источника тока).
Заменяя в выражении полной мощности величину э. д. с. через напряжения на участках цепи, получим
Величина UI соответствует мощности, развиваемой на внешнем участке цепи (нагрузке), и называется полезной мощностью Pпол=UI.
Величина UoI соответствует мощности, бесполезно расходуемой внутри источника, Ее называют мощностью потерь Po=UoI.
Таким образом, полная мощность равна сумме полезной мощности и мощности потерь Pоб=Pпол+P0.
Отношение полезной мощности к полной мощности, развиваемой источником, называется коэффициентом полезного действия, сокращенно к. п. д.,и обозначается η.
Из определения следует
При любых условиях коэффициент полезного действия η ≤ 1.
Если выразить мощности через величину тока и сопротивления участков цепи, получим
Таким образом, к. п. д. зависит от соотношения между внутренним сопротивлением источника и сопротивлением потребителя.
Обычно электрический к. п. д. принято выражать в процентах.
Для практической электротехники особый интерес представляют два вопроса:
1. Условие получения наибольшей полезной мощности
2. Условие получения наибольшего к. п. д.
Наибольшую полезную мощность( мощность на нагрузке) электрический ток развивает в том случае, если сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника тока.
Эта наибольшая мощность равна половине всей мощности (50%) развиваемой источником тока во всей цепи.
Половина мощности развивается на нагрузке и половина развивается на внутреннем сопротивлении источника тока.
Если будем уменьшать сопротивление нагрузки, то мощность развиваемая на нагрузке будет уменьшаться а мощность развиваемая на внутреннем сопротивлении источника тока будет увеличиваться.
Если сопротивление нагрузки равно нулю то ток в цепи будет максимальным, это режим короткого замыкания (КЗ). Почти вся мощность будет развивается на внутреннем сопротивлении источника тока. Этот режим опасен для источника тока а также для всей цепи.
Если сопротивление нагрузки будем увеличивать, то ток в цепи будет уменьшатся, мощность на нагрузке также будет уменьшатся. При очень большом сопротивлении нагрузки тока в цепи вообще не будет. Это сопротивление называется бесконечно большим. Если цепь разомкнута то ее сопротивление бесконечно большое. Такой режим называется режимом холостого хода.
Таким образом, в режимах, близких к короткому замыканию и к холостому ходу, полезная мощность мала в первом случае за счет малой величины напряжения, а во втором за счет малой величины тока.
Коэффициент полезного действия (к. п. д.) равен 100% при холостом ходе ( в этом случае полезная мощность не выделяется, но в то же время и не затрачивается мощность источника).
По мере увеличения тока нагрузки к. п. д. уменьшается по прямолинейному закону.
В режиме короткого замыкания к. п. д. равен нулю ( полезной мощности нет, а мощность развиваемая источником, полностью расходуется внутри него).
Подводя итоги вышеизложенному, можно сделать выводы.
Условие получения максимальной полезной мощности( R=R0) и условие получения максимального к. п. д. (R=∞) не совпадают. Более того, при получении от источника максимальной полезной мощности ( режим согласованной нагрузки) к. п. д.составляет 50%, т.е. половина развиваемой источником мощности бесполезно затрачивается внутри него.
В мощных электрических установках режим согласованной нагрузки является неприемлемым, так как при этом происходит бесполезная затрата больших мощностей. Поэтому для электрических станций и подстанций режимы работы генераторов, трансформаторов, выпрямителей рассчитываются так, чтобы обеспечивался высокий к. п. д. ( 90% и более).
Иначе обстоит дело в технике слабых токов. Возьмем, например, телефонный аппарат. При разговоре перед микрофоном в схеме аппарата создается электрический сигнал мощностью около 2 мвт. Очевидно, что для получения наибольшей дальности связи необходимо передать в линию как можно большую мощность, а для этого требуется выполнить режим согласованного включения нагрузки. Имеет ли в данном случае существенное значение к. п. д.? Конечно нет, так как потери энергии исчисляются долями или единицами милливатт.
Режим согласованной нагрузки применяется в радиоаппаратуре. В том случае, когда согласованный режим при непосредственном соединении генератора и нагрузки не обеспечивается, применяют меры согласования их сопротивлений.
Источник