Полезные формулы по геометрии для егэ

Полезные формулы по геометрии для егэ thumbnail

Формулы для профильного ЕГЭ-2020 по математике

Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия

Формулы сокращённого умножения

`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2` 
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2` 
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)` 
  
`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)` 
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)` 
  
`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3`

Прогрессии

Арифметическая прогрессия:

`a_n=a_(n-1)+d`
`a_n=a_1+(n-1)*d`
`S_n=((a_1+a_n)*n)/2`

Геометрическая прогрессия:

`b_n=b_(n-1)*q`
`b_n=b_1*q^(n-1)`
`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)`
Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)`

Вероятность

Вероятность события A:`P(A)=m/n`
   
События происходят A и B происходят одновременно`A*B` 
Независимые события:`P(A*B)=P(A)*P(B)`
Зависимые события:`P(A*B)=P(A)*P(B|A)`
   
Происходит или событие A, или B`A+B` 
Несовместные события:`P(A+B)=P(A)+P(B)`
Совместные события:`P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)`

Свойства степеней

`a^0=1``a^1=a`
`a^(-1)=1/a``a^(-n)=1/a^n`
`a^(1/2)=sqrt(a)``a^(1/n)=root(n)(a)`
`a^m*a^n=a^(m+n)``a^m/a^n=a^(m-n)`
`(a*b)^n=a^n*b^n``(a/b)^n=a^n/b^n`
`(a^m)^n=a^(m*n)``a^(m/n)=root(n)(a^m)`

Свойства логарифмов

`log_ab=c«a^c=b`
`log_a1=0` 
`log_aa=1` 
`log_a(b*c)=log_ab+log_ac` 
`log_a(b/c)=log_ab-log_ac` 
`log_ab^n=n*log_ab` 
`log_(a^m)b=1/m*log_ab` 
`log_ab=1/(log_ba)` 
`log_ab=(log_cb)/(log_ca)` 
`a^(log_cb)=b^(log_ca)` 
`a^(log_ab)=b` 

Тригонометрия

`alpha``0``pi/6``pi/4``pi/3``pi/2``pi``(3pi)/2``2pi`
`0^circ``30^circ``45^circ``60^circ``90^circ``180^circ``270^circ``360^circ`
`sinalpha``0``1/2``sqrt(2)/2``sqrt(3)/2``1``0``-1``0`
`cosalpha``1``sqrt(3)/2``sqrt(2)/2``1/2``0``-1``0``1`
`text(tg)alpha``0``sqrt(3)/3``1``sqrt(3)``infty``0``infty``0`
`text(ctg)alpha``infty``sqrt(3)``1``sqrt(3)/3``0``infty``0``infty`

Основные соотношения

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`
`text(tg)alpha=sinalpha/cosalpha=1/(text(ctg)^2alpha)` 

Формулы двойного угла

`cos2alpha={(cos^2alpha-sin^2alpha),(1-2sin^2alpha),(2cos^2alpha-1):}`
`sin2alpha=2sinalphacosalpha` 
`text(tg)2alpha=(2text(tg)alpha)/(1-text(tg)^2alpha)` 

Формулы суммы и разности аргументов

`sin(alpha+-beta)=sinalphacosbeta+-cosalphasinbeta`
`cos(alpha+-beta)=cosalphacosbeta∓sinalphasinbeta`
`text(tg)(alpha+-beta)=(text(tg)alpha+-text(tg)beta)/(1∓text(tg)alpha*text(tg)beta)`

Преобразование суммы и разности в произведение

`sinalpha+-sinbeta=2sin((alpha+-beta)/2)cos((alpha∓beta)/2)`
`cosalpha+cosbeta=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)`
`cosalpha-cosbeta=-2sin((alpha+beta)/2)sin((alpha-beta)/2)`

Формулы половинного аргумента

`sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)`
`cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)`
`text(tg)(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/(1+cosalpha))=(1-cosalpha)/sinalpha=sinalpha/(1+cosalpha)` 

Обратные тригонометрические функции

`sinx=A``x=(-1)^k*arcsinA + pik`
или
`{(x=arcsinA + 2pik),(x=pi-arcsinA+2pik):}`
`kinZZ`
`cosx=A``x=±arccosA + 2pik``kinZZ`
`tg x=A``x=text(arctg) A + pik``kinZZ`
`ctg x=A``x=text(arcctg) A + pik``kinZZ`

Также некоторые тригонометрические соотношения смотрите в разделе Геометрия.

Производные

Основные правила дифференцирования

`(u+-v)’=u’+-v’` 
`(u*v)’=u’*v+u*v’` 
`(u/v)^’=(u’*v-u*v’)/v^2` 
`[f(g(x))]’=f'(g(x))*g'(x)`

Уравнение касательной

`y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)`
 

Производные элементарных функций

`C’=0``(C*x)’=C` 
`(x^m)’=mx^(m-1)``(sqrtx)’=1/(2sqrtx)` 
`(1/x)^’=-1/x^2` 
`(e^x)’=e^x``(lnx)’=1/x` 
`(a^x)’=a^x*lna``(log_ax)’=1/(xlna)`
`(sinx)’=cosx``(cosx)’=-sinx` 
`(text(tg)x)’=1/cos^2x``(text(ctg)x)’=-1/sin^2x` 
`(arcsinx)’=1/sqrt(1-x^2)``(arccosx)’=-1/sqrt(1-x^2)`
`(text(arctg))=1/(1+x^2)’``(text(arcctg))’=-1/(1+x^2)` 

Также некоторые сведения про производные смотрите в описании задач
№14 (база), №7 (профиль), №12 (профиль).

Первообразные

Первообразная:`F'(x)=f(x)`   
Неопределённый интеграл:`intf(x)dx=F(x)+C`  
Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница):`int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)`Полезные формулы по геометрии для егэ

Таблица первообразных

 

`f(x)``F(x)``f(x)``F(x)`
`a``ax`   
`x^n``x^(n+1)/(n+1)` `1/x``lnx`
`e^x``e^x` `a^x``a^x/lna`
`sinx``-cosx` `cosx``sinx`
`1/cos^2x``text(tg)x` `1/sin^2x``-text(ctg)x`
`1/(x^2+a^2)``1/atext(arctg)x/a` `1/(x^2-a^2)``1/(2a)ln|(x-a)/(x+a)|`
`1/sqrt(a^2-x^2)``text(arcsin)x/a` `1/sqrt(x^2+a)``ln|x+sqrt(x^2+a)|`

Геометрия

Планиметрия (2D)

Площади фигур:

Окружность:`S=pir^2` 
Треугольник:`S=1/2ah` 
Параллелограмм:`S=ah` 
Четырёхугольник:`S=1/2d_1d_2sinvarphi`
Трапеция:`S=(a+b)/2*h` 

Стереометрия (3D)

Призма:`V=S_(осн)h` 
Пирамида:`V=1/3S_(осн)h` 
Конус:`V=1/3S_(осн)h` 
`S_(бок)=pirl` 
Цилиндр:`V=pir^2h`
 `S_(бок)=2pirh`
Шар:`V=4/3pir^3` 
`S=4pir^2` 

Источник

Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.

Геометрия на профильном ЕГЭ — это три в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая  16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?

Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.

На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.

Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.

Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Программа по геометрии.

1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).

2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника равны  и  сантиметров соответственно. Постройте треугольник с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике угол  равен  градусов, сторона  равна двум,  равна . Постройте треугольник .
в) В треугольнике сторона  равна , угол  равен , угол  равен . Постройте треугольник .

Читайте также:  Флотация как метод обогащения полезных ископаемых

3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.

5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

7. Внешний угол треугольника.

8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) три биссектрисы.
в) три медианы.

9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.

10. Средняя линия треугольника и ее свойства.

11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

12. Определения синуса, косинуса и тангенса
— для острого угла прямоугольного треугольника
— для произвольного угла.

13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.

14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.

15. Виды параллелограммов и их свойства. (ромб, прямоугольник, квадрат).

16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.

17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.

18. Площадь треугольника. Формулы    и  .

19. Теоремы синусов и косинусов.

20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.

21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)

22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)

23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.

24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.

25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.

26. Теоремы о вписанных углах.

27. Теорема о пересекающихся хордах.

28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.

29. Теорема о секущей и касательной.

30. Дан треугольник . Постройте
а) окружность, вписанную в данный треугольник
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?

31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).

32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?

Программа по стереометрии

Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.

Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:

«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».

Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.

Источник

Полезные формулы по геометрии для егэ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.

репетитор по скайпу

Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:

1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;

2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.

3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!

Напишите мне по адресу: a@tayak.ru или сразу добавляйтесь ко мне в скайп, и мы обо всём договоримся. Цены доступные.

P.S. Возможны занятия в группах по 2-4 учащихся.

С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко.

Полезные формулы по геометрии для егэДрузья! Весь справочный материал (и по алгебре, и по геометрии) в виде сборника 431 формул и правил вы можете получить здесь. Распечатаете, и получится удобная книжечка! Инструкцию по распечатке смотрите здесь.

P.S. Друзья, конечно, это бесплатно!

Дорогие друзья! Готовитесь к ОГЭ или ЕГЭ?

Вам в помощь «Справочник по геометрии 7-9».  Подробнее здесь.

Определение параллелограмма.

Полезные формулы по геометрии для егэПараллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: AB||CD, AD||DC.

Cвойства параллелограмма.

Полезные формулы по геометрии для егэПротивоположные стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=DC.

Полезные формулы по геометрии для егэПротивоположные углы параллелограмма равны:

A=C, B=D.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне составляет 180°.Например, ∠A+B=180°.

Читайте также:  Скачать полезные программы для мобильного телефона

Полезные формулы по геометрии для егэ

Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Δ ABD=Δ BCD.

Полезные формулы по геометрии для егэ

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD. Пусть АС=d1 и BD=d2 , ∠COD=α. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

(d1)2+(d2)2=2 (a2+b2).

Признаки параллелограмма.

  • Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Площадь параллелограмма.

Полезные формулы по геометрии для егэ1) S=ah;

2) S=ab∙sinα;

3) S=(½) d1∙d2∙sinβ.

Прямоугольник.

Полезные формулы по геометрии для егэПрямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. ABCD — прямоугольник.  Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Полезные формулы по геометрии для егэДиагонали прямоугольника равны.

AC=BD. Пусть АС=d1 и BD=d2 , ∠COD=α.

d1=d2 – диагонали прямоугольника равны. α – угол между диагоналями.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов сторон прямоугольника:

(d1)2=(d2)2=a2+b2.

Площадь прямоугольника можно найти по формулам:

1) S=ab;  2) S=(½)· d²∙sinα; (d- диагональ прямоугольника).

Около любого прямоугольника можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей; диагонали являются диаметрами окружности.

Ромб.

Полезные формулы по геометрии для егэРомб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

ABCD — ромб.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Полезные формулы по геометрии для егэ

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

AC | BD.  

Полезные формулы по геометрии для егэ

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба.

Полезные формулы по геометрии для егэ1) S=ah;

2) S=a2∙sinα;

3) S=(½) d1∙d2;

4) S= P∙r, где P – периметр ромба, r – радиус вписанной окружности.

Квадрат.

Полезные формулы по геометрии для егэВсе стороны квадрата равны, диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Диагональ квадрата d=a√2.

Площадь квадрата.  1) S=a2; 2) S=(½) d2.

Трапеция.

Полезные формулы по геометрии для егэОснования трапеции AD||BC, MN-средняя линия

MN=(AD+BC)/2.

 Площадь трапеции  равна  произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S=(AD+BC)∙BF/2 или  S=(a+b)∙h/2.

 В равнобедренной (равнобокой) трапеции длины боковых сторон равны; углы при основании равны.

Площадь любого четырехугольника.

  • Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

S=(½) d1∙d2∙sinβ.

  • Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:

S=(½) P∙r.

Вписанные и описанные четырехугольники.

Полезные формулы по геометрии для егэВ выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

AC∙BD=AB∙DC+AD∙BC.

Полезные формулы по геометрии для егэ

Если суммы противолежащих углов четырехугольника равны по 180°, то около четырехугольника можно описать окружность. Обратное утверждение также верно.

Полезные формулы по геометрии для егэ

Если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны (a+c=b+d), то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Обратное утверждение также верно.

Окружность, круг.

Полезные формулы по геометрии для егэ1) Длина окружности С=2πr;

2) Площадь круга S=πr2;

3) Длина дуги АВ:

Полезные формулы по геометрии для егэ

4) Площадь сектора АОВ:

Полезные формулы по геометрии для егэ

5) Площадь сегмента (выделенная область):

Полезные формулы по геометрии для егэ

(«-» берут, если α<180°; «+» берут, если α>180°), ∠AOB=α – центральный угол. Дуга l видна из центра O под углом α.

Теорема Пифагора. 

Полезные формулы по геометрии для егэ

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c²=a²+b².

Площадь прямоугольного треугольника.

=(½) a∙b, где a и b — катеты или=(½) c∙h, где с — гипотенуза, h –высота, проведенная к гипотенузе.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности.

Полезные формулы по геометрии для егэ    2r=a+b-c

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Полезные формулы по геометрии для егэВысота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу: h2=ac∙bc;

а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу: a2=c∙ac  и b2=c∙bc  (произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов: h, a, b — средние члены соответствующих пропорций).

Теорема синусов. 

теорема синусов

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Следствие из теоремы синусов. 

Полезные формулы по геометрии для егэКаждое из отношений стороны к синусу противолежащего угла равно 2R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

Теорема косинусов.

Полезные формулы по геометрии для егэ

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других ее сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Свойства равнобедренного треугольника.

Полезные формулы по геометрии для егэВ равнобедренном треугольнике (длины боковых сторон равны) высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

 Полезные формулы по геометрии для егэСумма внутренних углов любого треугольника составляет 180°, т. е. ∠1+∠2+∠3=180°.

Читайте также:  Полезно есть яйца утром или вечером

 Внешний угол треугольника (∠4) равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. ∠4=∠1+∠2.

Средняя линия  треугольника соединяет середины боковых сторон треугольника.

Полезные формулы по геометрии для егэСредняя линия  треугольника параллельна основанию и равна его половине: MN=AC/2.

Площадь треугольника.

Полезные формулы по геометрии для егэ

Формула Герона.

Полезные формулы по геометрии для егэ

Центр тяжести треугольника.

Полезные формулы по геометрии для егэЦентр тяжести треугольника — точка пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Длина медианы, проведенной к стороне а:

Полезные формулы по геометрии для егэ

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, площадь каждого из этих двух треугольников равна половине площади данного треугольника.

Биссектриса угла треугольника.

Полезные формулы по геометрии для егэ1) Биссектриса угла любого  треугольника делит противоположную сторону на части, соответственно пропорциональные боковым сторонам треугольника:

Полезные формулы по геометрии для егэ

2) если AD=βa, то длина биссектрисы:

Полезные формулы по геометрии для егэ

3) Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Полезные формулы по геометрии для егэПлощадь треугольника SΔ=(½) P∙r, где P=a+b+c, r-радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

Полезные формулы по геометрии для егэ

 Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к Полезные формулы по геометрии для егэсторонам треугольника.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника:

Полезные формулы по геометрии для егэ

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: R=АВ/2;

Полезные формулы по геометрии для егэМедианы  прямоугольных треугольников, проведенных к гипотенузе, равны половине гипотенузы (это радиусы описанной окружности) OC=OC1=R.

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников.

Полезные формулы по геометрии для егэОкружность, описанная около правильного n-угольника.

Полезные формулы по геометрии для егэ

Полезные формулы по геометрии для егэОкружность, вписанная в правильный n-угольник.

Полезные формулы по геометрии для егэ

Полезные формулы по геометрии для егэСумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n-2).

Сумма внешних углов любого выпуклог0  n-угольника равна 360°.

Прямоугольный параллелепипед.

Полезные формулы по геометрии для егэВсе грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. a, b, c – линейные размеры прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда d2=a2+b2+c2;

2) Боковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н или Sбок.=2 (a+b)·c;

3) Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок. или

Sполн.=2 (ab+ac+bc);

4) Объем прямоугольного параллелепипеда V=Sосн.∙Н илиV=abc.

Куб.

1) Все грани куба – квадраты со стороной а.

2) Диагональ куба d=a√3.

3) Боковая поверхность куба Sбок.=4а2;

4) Полная поверхность куба Sполн.=6а2;

5) Объем куба V=a3.

Прямой параллелепипед (в основании лежит параллелограмм или ромб, боковое ребро перпендикулярно основанию).

1) Боковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н.

2) Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок.

3) Объем прямого параллелепипеда V=Sосн.∙Н.

Наклонный параллелепипед.

Полезные формулы по геометрии для егэВ основании параллелограмм или прямоугольник или ромб или квадрат, а боковые ребра НЕ перпендикулярны плоскости основания.

1) Объем V=Sосн.∙Н;

2) Объем V=Sсеч.∙l, гдеlбоковое ребро, Sсеч.-площадь сечения наклонного параллелепипеда, проведенного перпендикулярно боковому ребру l.

Прямая призма.

Полезные формулы по геометрии для егэБоковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н;

Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок.;

Объем прямой призмы V=Sосн.∙Н.

Наклонная призма.

Полезные формулы по геометрии для егэБоковая и полная поверхности, а также объем можно находить по тем же формулам, что и в случае прямой призмы. Если известна площадь сечения призмы, перпендикулярного ее боковому ребру, то объем V=Sсеч.∙l, гдеl- боковое ребро, Sсеч.-площадь сечения,  перпендикулярного боковому ребру l.

Пирамида.

Полезные формулы по геометрии для егэ1) боковая поверхность Sбок. равна сумме площадей боковых граней пирамиды;

2) полная поверхность Sполн.=Sосн.+Sбок.;

3) объем V=(1/3) Sосн.∙Н.

4) У правильной пирамиды в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника, т. е. в центр описанной и вписанной  окружностей.

5) Апофема l –это высота боковой грани правильной пирамиды. Боковая поверхность правильной пирамиды Sбок.=(½) Pосн.∙l.

Теорема о трех перпендикулярах.

Полезные формулы по геометрии для егэПрямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Усеченная пирамида.

Полезные формулы по геометрии для егэЕсли S и  s соответственно площади оснований усеченной пирамиды, то объем любой усеченной пирамиды

Полезные формулы по геометрии для егэ

где h-высота усеченной пирамиды.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды

Полезные формулы по геометрии для егэ

где P и p соответственно периметры оснований правильной усеченной пирамиды,

l-апофема (высота боковой грани правильной усеченной пирамиды).

Цилиндр.

Полезные формулы по геометрии для егэБоковая поверхность Sбок.=2πRH;

Полная поверхность Sполн.=2πRH+2πR2 или Sполн.=2πR (H+R);

Объем цилиндра V=πR2H.

Конус.

Полезные формулы по геометрии для егэБоковая поверхность Sбок.= πRl;

Полная поверхность Sполн.=πRl+πR2 или Sполн.=πR (l+R);

Объем пирамиды V=(1/3)πR2H. Здесь l – образующая, R — радиус основания, H – высота.

Шар и сфера.

Площадь сферы S=4πR2; Объем шара V=(4/3)πR3.

R – радиус сферы (шара).

Источник