Полезные материалы для огэ по математике

Необходимый теоретический материал для сдачи ОГЭ по математике.

Автор: Чудинова Алена Сергеевна

1.Углы:

Вертикальные углы равны (на рис 1и3; 6и8 и др)

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис  4и6; 1 и 7)

Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180˚(на рис 4 и 7; 1 и6)

Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис 3 и 7; 1 и 5  и др)

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна третьей прямой.

2. Медиана, биссектриса, высота

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

Высота треугольника — перпендикуляр опущенный из вершины угла на противоположную сторону

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 

В любом треугольники все биссектрисы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке

3.Треугольник:

Сумма углов в любом треугольнике 180˚

Средняя линия треугольника — прямая проходящая через середины двух сторон. Средняя линия параллельна  одной из сторон и равна половине этой стороны

Виды треугольников: тупоугольный (один угол тупой), прямоугольный (один угол прямой 90˚), остроугольный (все углы острые, меньше 90˚)

Равнобедренный треугольник   —   треугольник 
у которого равны   две стороны. 

Свойства равнобедренного треугольника:  
             в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;  

в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;  

Равносторонний треугольник —  треугольник у которого   все стороны   равны.  (все углы по 60 градусов)

Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным,  
но не всякий равнобедренный   —   равносторонним.    

Три признака равенства треугольников

I признак по двум сторонам и углу между ними

II признак (по стороне и прилежащим углам)

III признак (по трем сторонам)

Признаки подобия треугольников

I признак: по двум равным углам

II признак: по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

III признак: по трем пропорциональным сторонам

Площади подобных фигур относятся как коэффициент  подобия в квадрате.

Объемы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой. (самая большая сторона это гипотенуза, две др. катеты)

Свойства прямоугольного треугольника:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов 

Катет, лежащий против угла  в 30˚, равен половине гипотенузы.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности:

Теорема Пифагора: 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a2+b2=c2

Пифагоровы тройки:

3,4,5

6,8,10

5,12,13

9,12,15

Признаки равенства прямоугольных треугольников

По двум катетам: 

По гипотенузе и катету: 

По катету и  прилежащему острому углу: 

По катету и противолежащему острому углу

По гипотенузе и острому углу

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

По острому углу

По пропорциональности двух катетов

По пропорциональности катета и гипотенузы

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному: 

Высота прямоугольного треугольника: h=ab/c или h= ( где АВ гипотенуза, СЕ высота опущенная на гипотенузу)

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: m=c/2 (R=​с/2=m​c)

3. Четырехугольники:

Сумма углов  в любом четырехугольнике 360 ˚

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

Прямоугольник.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка.

Квадрат.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями: d=a

Трапеция.

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полу сумме.

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции: диагонали равны; углы при основании равны; сумма противолежащих углов равна 180.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

d² = ab+c².

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

4. Окружность:

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности называется радиусом (r) окружности

Отрезок , соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Касательная и радиус, проведенный  в точку касания,  пересекаются под прямым углом

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Центральный угол окружности – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен дуге на которую он опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Вписанный угол равен половине дуги на которую опирается.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90˚.

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны.

  Теорема косинусов:

Теорема синусов:

5. Формулы площадей

Треугольник :

S = ½(a ⋅ ha)

S = ½(ab ⋅ sinC)

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)  (р- полупериметр) Формула Герона:

S=1/2(a⋅b) (прямоугольный треугольник, а,b – катеты)

S= ( равносторонний треугольник)

S= ( R- радиус описанной окружности)

S= (r – радиус вписанной окружности, P – периметр)

Квадрат: S = a ⋅ a = a2

ПрямоугольникS = a ⋅ b

Параллелограмм:

 S = a ⋅ ha

S =ab ⋅ sinC

S=1/2 d1·d2· sinC

Ромб :  S= 1/2d1·d2

Трапеция :S=1/2(a+b)⋅h(а, b основания трапеции)

Круг: S=π⋅r2

Теория вероятности.

Основная формула для вычисления вероятности события

  Ответ  не может быть больше 1

 Формулы сокращенного умножения:

Признаки делимости (необходимо для сокращения дробей и подбора нового знаменателя)

Признак делимости на 2

Последняя цифра числа должна быть четной — 0,2,4,6,8

Признак делимости на 3

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна 3

Признаки делимости на 5

Последняя цифра должна быть 0 или 5

Признак делимости на 9

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна 9

Признак делимости на 10

Последняя цифра должна быть 0

Разделить на 10, 100, 1000 и т.д, значит перенести запятую на столько знаков влево, сколько нулей в делителе (пример  256:10000=0,0256; 3,7:10=0,37)

Свойства степеней

 an • ak   =   an+k  

           =   an−k   или   an : ak = an−k   

 a =1 

 (an)k   =   ank  

 am × bm = (ab)m
        am ÷ bm= 

Стандартный вид числа: записать число цифрами, поставить запятую после первого числа, сосчитать количество цифр после запятой и записать 10 в той степени сколько цифр после запятой.

Пример: 173 тыс= 173000=1,73·105

Любое квадратное уравнение (степень у икса 2) можно решить через дискриминант (D= b2-4ac, x1,2=)

Теорема Виета (применяется когда коэффициент а =1):

Неполные квадратные уравнения:

1 вид:

ax2+bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0).

Решение: x (ax+b)=0 

 x1=0 или      ax+b=0 

                      x2=-b/a. 

Ответ: 0; -b/a.

2 вид:

 ax2-c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0);

Решение: ax2=c 

 x2=c/a.

Если (c/a)<0, то действительных корней нет.

Если (с/а)>0, то имеем два действительных корня: x1=    x2= —

Неравенства:

Линейные неравенства решение:

1.переносим слагаемые с неизвестным в одну сторону, числа в другую сторону, знак неравенства сохраняется. Делим обе части неравенства на множитель стоящий возле х. Знак неравенства меняется, если делим обе части неравенства на отрицательное число. И сохраняется, если делим на положительное число

2.чертим координатную прямую, отмечаем точки в порядке возрастания. Точки пустые если знак неравенства , точки жирные если знак неравенства, заштриховываем нужные ответ по знаку неравенства.

3.Записываем ответ. Если точка пустая или бесконечность — скобки круглые, точка жирная — скобка квадратная.

Квадратные неравенства:

1. Переписываем уравнение, заменяя знак неравенства на знак равно.
2.  Решаем квадратное уравнение любым известным способом.
3.  На координатной прямой расставляем точки в порядке возрастания (пустые или жирные, зависит от знака неравенства в изначальном неравенстве)
4.   В любом из  полученных интервалов берем любую удобную для счета точку, подставляем  в уравнение,  в правой части которого 0,
5. Определяем знак на промежутке. Расставляем знаки на оставшихся интервалах, чередуя знаки, если не было корней четной степени.
6. Выбираем нужный интервал соответствовав знаку неравенства
7. Записываем ответ. Если точка пустая или бесконечность — скобки круглые, точка жирная — скобка квадратная.

Решение системы неравенств:

1. Решаем отдельно первое неравенство из системы.
2. Решаем отдельно второе неравенство из системы.
3. На одной координатной прямой отмечаем получившиеся точки  из первого и второго решения в порядке возрастания. 

4.   Согласна знаку неравенства сверху штрихуем решение первого неравенства,  снизу решение второго неравенства.

5. Там где штриховка совпала (снизу и сверху) есть решение всей системы неравенств. Если совпадений нет, то решений системы нет)