Полезные подсказки по математике 5 класс
стр. стр.
ЗАКОНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
переместительный: a+b=b+a
a*b=b*a
сочетательный: (a+b)+c= a+(b+c)
(a*b)*c=a*(b*c)
распределительный: (a+b)*c= a*c+b*c
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
Признак
делимости на
Число делится «на», если
Делятся
Не делятся
2
оно оканчивается чётной цифрой (0,2,4,6,8)
148; 10006; 74; 270
43; 1225; 1007
10
оно оканчивается нулём
20; 69800; 430
255; 6631; 14; 87
5
оно оканчивается 0 или 5
2205; 980; 70; 9875
2201; 987; 74; 552
3
сумма цифр числа делится на 3
411(4+1+1=6); 1002; 81; 111000
751; 33800; 80821
9
сумма цифр числа делится на 9
1260; 6039; 70704
111115; 120; 30305
РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОКОЛО МНОГОУГОЛЬНИКА
R = a/ 2 sin 180/n
РАДИУС ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
r = a/ 2 tg 180/n
Окружность
L = 2 πR S = πR2
ПЛОЩАДЬ КОНУСА
S БОК = πRL
S КОН = πR(L+R)
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
1. Прямоугольный треугольник S = 1/2 a·b (a, b – катеты)
2. Равнобедренный треугольник S = (a/2)·√ b2 – a2/4
3. Равносторонний треугольник S = (a2/4)·√3 (a – сторона)
4. Произвольный треугольник a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2
S = 1/2 a·h = 1/2 a2b sin C =a2sinB sinC/2 sin A= √p(p-a)(p-b)(p-c)
5. Параллелограмм a,b – стороны, α – один из углов; h – высота S = a·h = a·b·sin α
6. Трапеция a,b – основания; h – высота, c – средняя линия S = (a+b/2)·h = c·h
7. Квадрат а – сторона, d – диагональ S = a2 = d2/2
8. Ромб a – сторона, d1, d2 – диагонали, α – угол между ними S = d1d2/2 = a2sinα
9. Правильный шестиугольник a – сторона S = (3√3/2)a2
10. Круг S = (L/2) r = πr2 = πd2/4
11. Сектор S = (πr2/360) α
РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел. 75 = 5∙5∙3
Последовательность действий при разложении на простые множители:
1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.
2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель,
из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).
3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется
простым числом.
28 = 2∙2∙7; 2) 363 = 3∙11∙11;
3) 264 = 2∙2∙2∙3∙11
Ход работы в примере 3): 264 2
264 : 2 = 132 132 2
13 2 : 2 = 66 66 2
66 : 2 = 33 33 3
33 : 3 = 11 11 11
11 : 1 1= 1 делители – только простые числа
НОК и НОД
(наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель)
НОД (63и98) = 7 НОД(120и45) = 5∙3=15
63 3 98 2 120 5 45 5
21 3 49 7 24 2 9 3
7 7 7 7 12 2 3 3
63=3∙3∙7 98=2∙7∙7 6 2 120=5∙2∙2∙2∙3; 45= 5∙3∙3 3 3
НОК(15и20) = (5∙3)∙2∙2=60 НОК(12и40) = (2∙3∙2)∙5∙2=120
15 5 20 2нет в разложе— 12 2 40 2 нет раз- 3 3 10 2нии 15 6 2 20 5 нии12 5 5 5 5 3 3 4 2 22 2
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
Чтобы сократить дробь, нужно и числитель и знаменатель разделить на одно и то же число.
(сократили на 5)
= (сократили на 2)
= (сокр. на 10)= (сокр. на 2)
, , ─ несократимые дроби
ОЪЕМЫ И ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ
1. Призма, прямая или наклонная,параллелепипед V = S·h
2. Прямая призмаSБОК =p·h, p–периметр или длина окружности
3. Параллелепипед прямоугольный V = a·b·c; P = 2(a·b + b·c + c·a) P – полная поверхность
4. Куб: V = a3 ; P = 6 a2
5. Пирамида, правильная и неправ. S = 1/3 S·h; S – площадь основания
6. Пирамида правильная S =1/2 p·A A – апофема правильной пирамиды
7. Цилиндр круговой V = S·h = πr2h 8. Цилиндр круговой: SБОК = 2 πrh 9. Конус круговой: V=1/3 Sh = 1/3 πr2h 10. Конус круговой: SБОК = 1/2 pL= πrL 11. Шар: V=4/3 πR3 = 1/6 πD3 P = 4 πR2 = πD2 12. Шаровой сегмент V = πh2 (R-1/3h) = πh/6(h2 + 3r2) SБОК = 2 πRh = π(r2 + h2); P= π(2r2 + h2) 13. Шаровой слой V = 1/6 πh3 + 1/2 π(r2 + h2)· h; SБОК = 2 π·R·h
14. Шаровой сектор: V = 2/3 πR2 h’ где h’ – высота сегмента, содержащего в секторе
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
∫ dx = x + C
∫ xn dx = (x n +1/n+1) + C
∫ dx/x2 = -1/x + C
∫ dx/√x = 2√x + C
∫ (kx+b) = 1/k F(kx + b)
∫ sin x dx = — cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ dx/sin2 x = -ctg + C
∫ dx/cos2 x = tg + C
∫ x r dx = x r+1/r+1 + C
ЛОГАРИФМЫ
1. loga a = 1
2. loga 1 = 0
3. loga (bn) = n loga b
4. log An b = 1/n loga b
5. loga b = log c b/ log c a
6. loga b = 1/ log b a
ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ
Любые две дроби можно привести к общему (одинаковому) знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). НОЗ = НОК знаменателей
2
Привести к общему знаменателю дроби:
3
и ; а) НОК(9и 6)=18; б) 18:9=2, 18:6=3 ( 2 и 3 – дополнительные множители)
в) умножаем на дополнительные множители и числители и знаменатели данных дробей.
4
5
Ответ: и → и
и ; а) НОК(12 и 15)=60; б)60:12=5, 60:15=4 (5 и 4 – дополн. множ.)
в) см.пример 1.
Ответ: и → и
СРАВНЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби, надо:
привести дроби к общему знаменателю;
9
7
сравнить, сложить или вычесть числители новых дробей, оставляя их знаменатели без изменения.
2
3
Сравнить: и ; а) НОЗ (9и7)=63; б) = ; = ; в) › → ›
3
2
Вычислить: + ( НОЗ(10и15) = 30 ← в уме ) = + =
3
Вычислить: – ( НОЗ (12и8) = 24 ← в уме ) = – =
2
ЗАПИСЬ: + = = =
ПЕРВООБРАЗНАЯ
Если F’(x) = f(x), то F(x) — первообразная
для f(x)
Функция f(x) = Первообразная F(x)
k = kx + C
xn = xn+1/n+1 + C
1/x = ln |x| + C
ex = ex + C
ax = ax/ ln a + C
1/√x = 2√x + C
cos x = sin x + C
1/ sin2 x = — ctg x + C
1/ cos2 x = tg x + C
sin x = — cos x + C
1/ x2 = — 1/x
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
2
3
Для сложения и вычитания смешанных чисел нужно отдельно сложить целые и дробные части компонентов.
3
7
+ = = = ← в ответе дробь должна быть правильной
–1 = = 4 = 4 ← в ответе дробь должна быть несократимой
2
3
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ
3 – = ← ? (9 11) : занимаем у 2 целых 1 и дробим её на , которые добавляем к дробной части, имеем: = =
1 = = = …… = = …… = = …… = = ….
УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
Для умножения обыкновенных дробей нужно перемножить их числители и их знаменатели.
Если возможно сокращение – его надо выполнить, это облегчит вычисления.
При умножении смешанных и целых чисел их заменяют неправильными дробями.
∙ = =
2 ∙ = = = = 1
3. 7 ∙ = ∙ = = 4
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
( f (x) + g (x) )’ = f ’(x) + g’(x) (xn)’ = nx n-1
(k(f(x))’ = kf ’ (x) (tg x)’ = 1/ cos2 x
(f(x) g(x))’ = f ’(x)·g(x) + f(x)·g’(x) (ctg x)’ = — 1/ sin2 x
(f(x)/g(x))’=(f ’(x)·g(x) — f(x)·g’(x))/g2 (x)
(f (kx + m))’ = kf ’(kx + m)
ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
c’ = 0 ()’ = 1/ 2
x’ = 1 (sin x)’ = cos x
(kx + m)’ = k (cos x)’ = — sin x
(1/x)’ = — (1/x2) ( ln x)’ = 1/x
(ex)’ = ex; (xn)’ = nx n-1;(log a x)’=1/x ln a
УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
y = f ’(a) (x-a) + f(a)
ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМЫМИ x=a, x=b
S = ∫( f(x) – g(x)) dx
ФОРМУЛА Ньютона-Лебница
∫ab f(x) dx = F(b) – F (a)
ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
Деление обыкновенных дробей можно заменить умножением на «перевёрнутую» дробь.
Шаги деления обыкновенных дробей:
преобразовать пример: : (все компоненты – дроби)
заменить: : = ∙
выполнить умножение
НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА
дробь
(?)
всё целое
(знаем)
Задача. В книге 140 страниц. Андрей прочитал 0,3 этой книги. Сколько страниц прочитал Андрей?
Решение
0,3 от 140 стр. ; 140 ∙ 0,3 = 42 (стр.)
Ответ: Андрей прочитал 42 страницы.
НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ
дробь
(знаем)
всё целое
(?)
Задача. Девочка прошла на лыжах 300 метров, что составляет дистанции. Какова длина дистанции?
Решение
300 м сост. дистанции; 300 : = ∙ = = 800 (м)
Ответ: длина дистанции 800 метров.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
sin x = 0, x = πn sin x = b x = (-1)n arcsin b + πn
sin x = 1, x = π/2 + 2 πn cos x = b x = ± arcos b + 2 πn
sin x = -1, x = — π/2 + 2 πn tg x = b x = arctg b + πn
cos x = 0, x = π/2 + 2 πn ctg x = b x = arcctg b + πn
cos x = 1, x = 2πn
cos x = -1, x = π + 2 πn
ТЕОРЕМЫСЛОЖЕНИЯ
cos (x +y) = cosx ·cosy – sinx ·siny cos (x -y) = cosx ·cosy + sinx ·siny
sin (x +y) = sinx ·cosy + cosx ·siny sin (x -y) = sinx ·cosy — cosx ·siny
tg (x ±y) = tg x ± tg y/ 1 -+ tg x ·tg y ctg (x ±y) = tg x -+ tg y/ 1± tg x ·tg y
sin x ± sin y = 2 cos (x±y/2)· cos (x-+y/2) cos x ± cosy = -2 sin (x±y/2)· sin (x-+y/2)
1 + cos 2x = 2 cos2 x; cos2x = 1+cos2x/2 1 – cos 2x = 2 sin2 x; sin2x = 1- cos2x/2
ТЕОРЕМЫПРОИЗВЕДЕНИЯ
sin s cos t = (sin (s+t) + sin (s+t))/2
sin s sin t = (cos (s-t) — cos (s+t))/2
cos s cos t = (cos (s+t) + cos (s-t))/2
ФОРМУЛЫ cos и sin
sin (-x) = -sin x sin (x + 2πk) = sin x
cos (-x) = cos x cos (x + π/2) = -sin x
sin (x + π) = -sin x sin (x + π/2) = cos x
cos (x + π) = -cos x cos (x + 2πk) = cos x
ФОРМУЛЫ tg и ctg
tg x = sin x/ cos x; ctg x = cos x/sin x
tg(-x) = — tg x ctg(-x) = — ctg x
tg (x + πk) = tg x ctg (x + πk) = ctg x
tg (x ± π) = ± tg x ctg (x ± π) = ± ctg x
tg (x + π/2) = — ctg x ctg (x + π/2) = — tg x
ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО АРГУМЕНТА
cos 2x = cos2x – sin2 x = 2 cos2 x -1 = 1 – 2 sin2 x = 1 – tg2 x/1 + tg2 x
sin 2x = 2 sin x · cos x = 2 tg x/ 1 + tg2 x
tg 2x = 2 tg x/ 1 – tg2 x
ctg 2x = ctg 2 x – 1/ 2 ctg x
sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x
cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x
tg 3x = 3 tg x – tg3 x / 1 – 3 tg2 x
ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
2 : 48; 36 : 1,8; х : 15 — отношения.
Пропорция – равенство двух отношений.
12: 6 = 100 : 50 12 и 50 – крайние члены
6 и 100 – средние члены
=
Основное свойство пропорции: если пропорция верна, то произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции: 12 : 6 = 100 : 50; → 12 ∙ 50 = 6 ∙ 100 = 600;
Решение уравнений
= 10 : Х = 2,5 : 5 0,4 ∙х = 2∙ 5 2,5Х = 10 ∙ 5
0,4х = 10; х = 10 : 0,4 = 100:4=25 ; Х = 25
2,5Х = 50; Х = 50 : 2,5 = 500 : 25; Х = 20
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА.
C – длина окружности; S – площадь круга;
∏(пи) ≈ 3,1415926536… (3,14); R(r)-радиус;
C = 2RS =
Задача Найти длину окружности и площадь круга с радиусом 5 см.
Решение
r = 2 ∙ 3,14 ∙5 = 6,28 ∙ 5 = 31,4(см)
= 3,14 ∙ = 3,14 ∙ 25 = 78,5()
Окружность – линия, Круг – часть плоскости
КРУГ
Синус угла— отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла— отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс — наоборот
ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
sin2 x + cos2 x =1
tg x · ctg x = 1
1 + tg2 x = 1/ cos2 x
1 + ctg2 x = 1/ sin2 x
tg2 (x/2) = 1 – cos x/ 1 + cos x
cos2 (x/2) = 1 + cos x/ 2
sin2 (x/2) = 1 — cos x/ 2
Теоремасинусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R
Теорема косинусов: с2=a2+b2-2ab cos y
t
π/4
π/2
3π/4
π
cos
√2/2
-√2/2
1
sin
√2/2
1
√2/2
t
5π/4
3π/2
7π/4
2π
cos
-√2/2
√2/2
1
sin
-√2/2
-1
-√2/2
t
π/6
π/4
π/3
tg
√3/3
1
√3
ctg
—
√3
1
√3/3
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
a n+1 = a n + d, где n – натуральное число
d – разность прогрессии;
a n = a 1 + (n – 1)·d – формула n-го члена
Сумма n членов
S n = ((a 1 + a n )/2) · n
S n = ((2a 1 + (n-1)d)/2) · n
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
b n+1 = bn · q, где n ε N
q – знаменатель прогрессии
b n = b1 · q n – 1 – n-ый член прогрессии
Сумма n-ых членов
S n = (b n q — b 1 )/q-1
S n = b 1 (q n — 1 )/q-1
1
—5
—1
2
3
5
4
—2
—3
—4
A
B
C
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ ЧИСЛА.
1.
В(-5); А(2); С(3,4) – координаты точек
2. противоположные числа: 2 и-2; 5 и-5; -135 и 135; -2,3 и 2,3
3. — модуль числа а
│а│ = а, если а ≥ 0 → │9│ = 9; │138│ = 138; │0│ = 0
│а│ = -а, если а ≤ 0 → │-5│ = 5; │-18│ = 18
Модуль числа не может быть отрицательным!
СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ
1
-5
-1
Из двух чисел всегда больше то, которое расположено на числовой прямой правее:
21 › -40; 18 › 11; -2 › -2339.
Любое положительное число всегда больше
отрицательного: 0,12 › -743; 1 › -5
Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля: 25 › 0; 0 ‹ 987; 0 › -45; -2,47 ‹ 0
Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:
-287 ‹ -5; -18 › -35; -100 ‹ -1
ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
Если D=0, то x = -b/2a (D = b2-4ac)
Если D>0, то x1,2 = -b± /2a
Теорема Виета
x1 + x2 = -b/a
x1 · x2 = c/a
СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ
a0 = 1 (a≠0)
am/n = (a≥0, n ε N, m ε N)
a- r = 1/ a r (a>0, r ε Q)
a m · a n = a m + n
a m : a n = a m – n (a≠0)
(a m) n = a mn
(ab) n = a n b n
(a/b) n = a n/ b n
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО (КВАДРАТНОГО) КОРНЯ
(a≥0, b≥0) ; (m= ;
(a≥0) ; ; = ;
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
(a±b)²=a²±2ab+b²
(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
a²-b²=(a+b)(a-b)
a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),
(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)
ФОРМУЛЫ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ :
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+…+an-1)
ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и x2 — корни уравнения
ax²+bx+c=0
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и в ответе поставить знак «-»:
(-5) + (-11) = -16; -100 + (2,9) = -102,9
2. Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и в ответе поставить знак слагаемого с большим модулем:
25 + (-8) = 17 |25| › |-8| → в ответе знак «+»
-25 + 8 = -17; |-25| › |8| → в ответе знак «-»
3. Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а) -6 – 10 = -6 + (-10) = -16; б) 2 – (-3) = 2 + 3 = 5; в) -1 – (-5) = -1 + 5 = 4;
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИМОЕ)
МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИТЕЛЬ)
ПРОИЗВЕДЕНИЕ(ЧАСТНОЕ)
+ / +
+ /+
+ / +
+ / +
— / —
— /—
— / —
+ / +
— / —
— /—
— / —
+ /+
ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ
Подобные слагаемые – это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть: 25х и 0,4х; 8 m и 100m; 6 а и 7,11а
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть
6х – 2х + 4х = 8х
6 – 2 + 4 = 8
18а + 10а – а = 27а
18 + 10 – 1 = 27
5а – у + 11у – 9а – 2а = -6а + 10у
5 – 9 – 2 = -6; -1 + 11 = 10
РАСКРЫТИЕ СКОБОК
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки, оставив все слагаемые в скобках со своими знаками (если перед первым слагаемым в скобке знака нет, то подразумевается «+»).
(-21х + 47 – 5х) = -21х + 47 – 5х = -26х + 47;
11а + (5у + 5х – 5а) = 11а + 5у + 5х – 5а = 6а + 5х + 5у;
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные.
— (-21х + 47 – 5х) = 21х – 47 + 5х = 26х – 47;
11а – (5у + 5х – 5а) = 11а – 5у – 5х + 5а = 16а -5у – 5х.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнения решаются по следующему алгоритму
Дано уравнение
7х – (12 + 3х) = 4(х – 3) – 2х +10
Раскрыть скобки
7х – 12 – 3х = 4х – 12 – 2х + 10
Перенести в левую часть уравнения неизвестные слагаемые, а в правую – известные (при переносе поменять знак!)
7х – 3х – 4х + 2х = -12 + 10 +12
Привести подобные слагаемые
2х = 10
Найти корень уравнения
Х = 10 : 2
Х = 5
«—»
меняй знак!
«+»
оставляй знак!
Шортандинский район
Степная средняя школа
ПОЛЕЗНЫЕ ПОДСКАЗКИ
Для учащихся 5-11 классов
Из опыта работы учителя математики
Андреевой Оксаны Геннадьевны
Составитель: Андреева Оксана Геннадьевна
учитель математики
Степной средней школы
Рецензенты: Заведующая методическим отделом Шортандинского районного отдела образования А.Хапур, заместитель директора по учебно-воспитательной работе К. Б. Аубакирова
Рецензируемое пособие входит в состав учебно-методического комплекса по математике выполняя свойственные для такого типа изданий дидактические и методические функции. Данное пособие содержит справочный материал. Все основные формулы школьного курса математики: алгебры, геометрии и начал анализа. Пособие предназначено для учителей и школьников 5-11 классов.
Данный сборник рассмотрен на заседании школьной предметной кафедры учителей математики (пр.№ 1 от 5.09. 2013) и рассмотрен на заседании ШМО учителей естественно-математического цикла (пр.№ 1от 28.08. 2013)
Содержание
Математика 5-6 классов 2-15
Алгебра 16-24
Геометрия 25-27
Справочные таблицы 28-29
Использованная литература 30
Степени чисел 2, 3 и 5
n
2n
3n
5n
1
1
1
1
2
3
5
2
4
9
25
3
8
27
125
4
16
81
625
5
32
243
3125
6
64
729
15625
7
128
2187
78125
8
256
6561
390625
9
512
19683
1953125
10
1024
59049
9765625
Значения функции y=ex
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
-0,5
0,5
1/3
ex
0,05
0,14
0,37
2,72
7,39
20,09
54,6
0,61
1,65
1,4
Десятичные логарифмы чисел от 1 до 10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lg n=
0,3
0,48
0,6
0,7
0,78
0,85
0,9
0,95
1
Натуральные логарифмы чисел от 1 до 10
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ln n=
0,69
1,1
1,39
1,61
1,79
1,95
2,08
2,2
2,3
СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Простые числа от 2 до 997
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
467
479
487
491
499
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997
Квадраты натуральных чисел от 11 до 99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
4
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401
5
2601
2704
2809
2916
3025
3136
3249
3364
3481
6
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
7
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241
8
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
9
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801
Кубы натуральных чисел от 1 до 10
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X3
1
8
27
64
125
256
343
512
729
1000
Только для созидания должны вы учиться!
Ницше Ф.
Вопрос пробелов в знаниях в любой школе стоит очень остро. Необходима постоянная поддержка учителя, дополнительное разъяснение нового материала и разбор старого. А в случае, когда учителя нет рядом, надо постараться разобраться самому.
Все это подтолкнуло меня к составлению справочных материалов по основным вопросам математики, сборник я назвала «Полезные подсказки». Материал в сборнике изложен коротко и доступно, без лишних подробностей, его можно использовать как при решении различных упражнений, содержащих изученные ранее вопросы, так и при самостоятельном разборе упущенного материала в качестве самообразования.
Думаю, что этот сборник будет полезен и интересен ученикам и их родителям.
Брошюру можно использовать как раздаточный материал на уроках.
«Чему бы ты ни учился, ты учишься для себя.»
Петроний
Использованная литература:
Источник
ПОЛЕЗНЫЕ ПОДСКАЗКИ |
Просто о главном. Пособие для учащихся. |
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
Признак делимости на | Число делится «на», если | Делятся | Не делятся |
2 | оно оканчивается чётной цифрой (0,2,4,6,8) | 148; 10006; 74; 270 | 43; 1225; 1007 |
10 | оно оканчивается нулём | 20; 69800; 430 | 255; 6631; 14; 87 |
5 | оно оканчивается 0 или 5 | 2205; 980; 70; 9875 | 2201; 987; 74; 552 |
3 | сумма цифр числа делится на 3 | 411(4+1+1=6); 1002; 81; 111000 | 751; 33800; 80821 |
9 | сумма цифр числа делится на 9 | 1260; 6039; 70704 | 111115; 120; 30305 |
РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.
75 = 5∙5∙3
- 28 = 2∙2∙7; 2) 363 = 3∙11∙11; 3) 264 = 2∙2∙2∙3∙11
Ход работы в примере 3): 264 2
264 : 2 = 132 132 2
13 2 : 2 = 66 66 2
66 : 2 = 33 33 3
33 : 3 = 11 11 11
11 : 1 1= 1 делители – только простые числа
НОК и НОД (наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель)
НОД (63и98) = 7 НОД(120и45) = 5∙3=15
63 3 98 2 120 5 45 5
21 3 49 7 24 2 9 3
7 7 7 7 12 2 3 3
63=3∙3∙7 98=2∙7∙7 6 2 120=5∙2∙2∙2∙3; 45= 5∙3∙3
3 3
НОК(15и20) = (5∙3)∙2∙2=60 НОК(12и40) = (2∙3∙2)∙5∙2=120
15 5 20 2 нет в разложе- 12 2 40 2 нет в раз-
3 3 10 2 нии 15 6 2 — 5 ложении 12
5 5 3 3 4 2
2 2
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
Чтобы сократить дробь, нужно и числитель и знаменатель разделить на одно и то же число.
(сократили на 5)
= (сократили на 2)
= (сокр. на 10) = (сокр. на 2)
, , ─ несократимые дроби
ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ
Любые две дроби можно привести к общему (одинаковому) знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). НОЗ = НОК знаменателей
Привести к общему знаменателю дроби:
- и ; а) НОК(9и 6)=18; б) 18:9=2, 18:6=3 ( 2 и 3 – дополнительные мно –
жители)
в) умножаем на дополнительные множители и числители и
знаменатели данных дробей.
Ответ: и → и
- и ; а) НОК(12 и 15)=60; б)60:12=5, 60:15=4 (5 и 4 – дополн. множ.)
в) см.пример 1.
Ответ: и → и
СРАВНЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби, надо:
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить, сложить или вычесть числители новых дробей, оставляя их знаменатели без изменения.
- Сравнить: и ; а) НОЗ (9и7)=63; б) = ; = ; в) › → ›
- Вычислить: + ( НОЗ(10и15) = 30 ← в уме ) = + =
Вычислить: – ( НОЗ (12и8) = 24 ← в уме ) = – =
ЗАПИСЬ: + = = =
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
Для сложения и вычитания смешанных чисел нужно отдельно сложить целые и дробные части компонентов.
- + = = = ← в ответе дробь должна быть правильной
- –1 = = 4 = 4 ← в ответе дробь должна быть несокра-
тимой
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ
- 3 – = ← ? (9 11) : занимаем у 2 целых 1 и дробим её на , которые добавляем к дробной части, имеем: = =
1 = = = …… = = …… = = …… = = ….
УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
- Для умножения обыкновенных дробей нужно перемножить их числители и их знаменатели.
- Если возможно сокращение – его надо выполнить, это облегчит вычисления.
- При умножении смешанных и целых чисел их заменяют неправильными дробями.
- ∙ = =
- 2 ∙ = = = = 1
- 7 ∙ = ∙ = = 4
ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
Деление обыкновенных дробей можно заменить умножением на «перевёрнутую» дробь.
Шаги деления обыкновенных дробей:
- преобразовать пример: : (все компоненты – дроби)
- заменить: : = ∙
- выполнить умножение
- : = ∙ = = = 1 ;
- : 6 = : = ∙ = =
НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА
Задача. В книге 140 страниц. Андрей прочитал 0,3 этой книги. Сколько страниц прочитал Андрей?
Решение
0,3 от 140 стр. ; 140 ∙ 0,3 = 42 (стр.)
Ответ: Андрей прочитал 42 страницы.
НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ
Задача. Девочка прошла на лыжах 300 метров, что составляет дистанции. Какова длина дистанции?
Решение
300 м сост. дистанции; 300 : = ∙ = = 800 (м)
Ответ: длина дистанции 800 метров.
ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
- 2 : 48; 36 : 1,8; х : 15 — отношения.
- Пропорция – равенство двух отношений.
- 12 : 6 = 100 : 50 12 и 50 – крайние члены
6 и 100 – средние члены
=
- Основное свойство пропорции: если пропорция верна, то произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции: 12 : 6 = 100 : 50; → 12 ∙ 50 = 6 ∙ 100 = 600;
- Решение уравнений
= 10 : Х = 2,5 : 5
0,4 ∙х = 2∙ 5 2,5Х = 10 ∙ 5
0,4х = 10; х = 10 : 0,4 = 100:4=25 ; Х = 25 2,5Х = 50; Х = 50 : 2,5 = 500 : 25; Х = 20
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА.
C – длина окружности; S – площадь круга;
∏(пи) ≈ 3,1415926536… (3,14); R(r)-радиус;
C = 2∏R S = ∏
Задача Найти длину окружности и площадь круга с радиусом 5 см.
Решение
- r = 2 ∙ 3,14 ∙5 = 6,28 ∙ 5 = 31,4(см)
- = 3,14 ∙ = 3,14 ∙ 25 = 78,5()
Окружность – линия, Круг – часть плоскости
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ ЧИСЛА.
1.
В(-5); А(2); С(3,4) – координаты точек
2. противоположные числа: 2 и-2; 5 и-5; -135 и 135; -2,3 и 2,3
3. а — модуль числа а
│а│ = а, если а ≥ 0 → │9│ = 9; │138│ = 138; │0│ = 0
│а│ = -а, если а ≤ 0 → │-5│ = 5; │-18│ = 18
Модуль числа не может быть отрицательным!
СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ
- Из двух чисел всегда больше то, которое расположено на числовой прямой правее:
21 › -40; 18 › 11; -2 › -2339.
- Любое положительное число всегда больше
отрицательного: 0,12 › -743; 1 › -5
- Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля: 25 › 0; 0 ‹ 987; 0 › -45; -2,47 ‹ 0
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:
-287 ‹ -5; -18 › -35; -100 ‹ -1
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и в ответе поставить знак «-«:
(-5) + (-11) = -16; -100 + (2,9) = -102,9
2. Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и в ответе поставить знак слагаемого с большим модулем:
25 + (-8) = 17 |25| › |-8| → в ответе знак «+»
-25 + 8 = -17; |-25| › |8| → в ответе знак «-«
3. Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а) -6 – 10 = -6 + (-10) = -16; б) 2 – (-3) = 2 + 3 = 5; в) -1 – (-5) = -1 + 5 = 4;
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИМОЕ) | МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИТЕЛЬ) | ПРОИЗВЕДЕНИЕ(ЧАСТНОЕ) |
+ / + | + / + | + / + |
+ / + | — / — | — / — |
— / — | + / + | — / — |
— / — | — / — | + / + |
ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ
Подобные слагаемые – это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть: 25х и 0,4х; 8 m и 100m; 6 а и 7,11а
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть
- 6х – 2х + 4х = 8х
6 – 2 + 4 = 8
- 18а + 10а – а = 27а
18 + 10 – 1 = 27
- 5а – у + 11у – 9а – 2а = -6а + 10у
5 – 9 – 2 = -6; -1 + 11 = 10
РАСКРЫТИЕ СКОБОК
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки, оставив все слагаемые в скобках со своими знаками (если перед первым слагаемым в скобке знака нет, то подразумевается «+»).
- (-21х + 47 – 5х) = -21х + 47 – 5х = -26х + 47;
- 11а + (5у + 5х – 5а) = 11а + 5у + 5х – 5а = 6а + 5х + 5у;
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные.
- — (-21х + 47 – 5х) = 21х – 47 + 5х = 26х – 47;
- 11а – (5у + 5х – 5а) = 11а – 5у – 5х + 5а = 16а -5у – 5х.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнения решаются по следующему алгоритму
Дано уравнение | 7х – (12 + 3х) = 4(х – 3) – 2х + 10 |
Раскрыть скобки | 7х – 12 – 3х = 4х – 12 – 2х + 10 |
Перенести в левую часть уравнения неизвестные слагаемые, а в правую – известные (при переносе поменять знак!) | 7х – 3х – 4х + 2х = -12 + 10 + 12 |
Привести подобные слагаемые | 2х = 10 |
Найти корень уравнения | Х = 10 : 2 Х = 5 |
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
Источник