Реферат на тему чем полезна математика
Если внимательно посмотреть по сторонам, роль математики в жизни человека становится очевидной. Компьютеры, современные телефоны и прочая техника сопровождают нас каждый день, а их создание невозможно без использования законов и расчетов великой науки. Однако роль математики в жизни людей и общества не исчерпывается подобным ее применением. Иначе, например, многие деятели искусства могли бы с чистой совестью сказать, что время, посвященное в школе решению задач и доказательству теорем, было потрачено впустую. Тем не менее это не так. Попробуем разобраться, для чего нужна математика.
Основание
Для начала стоит понять, что вообще представляет собой математика. В переводе с древнегреческого само ее название означает «наука», «изучение». В основе математики лежат операции подсчета, измерения и описания форм объектов. Это базис, на который опираются знания о структуре, порядке и отношениях. Именно они составляют суть науки. Свойства реальных объектов в ней идеализируются и записываются на формальном языке. Так происходит их преобразование в математические объекты. Часть идеализированных свойств становятся аксиомами (утверждениями, не требующими доказательств). Из них затем выводятся другие истинные свойства. Так формируется математическая модель реально существующего объекта.
Два раздела
Математику можно разделить на две взаимодополняющие части. Теоретическая наука занимается глубоким анализом внутриматематических структур. Прикладная же предоставляет свои модели другим дисциплинам. Физика, химия и астрономия, инженерные системы, прогнозирование и логика используют математический аппарат постоянно. С его помощью делаются открытия, обнаруживаются закономерности, предугадываются события. В этом смысле значение математики в жизни человека невозможно переоценить.
Основа профессиональной деятельности
Без знания основных математических законов и умения ими пользоваться в современном мире становится очень трудно обучаться практически любым профессиям. С цифрами и операциями с ними имеют дело не только финансисты и бухгалтера. Астроном не сможет определить без таких знаний расстояние до звезды и наилучшее время наблюдения за ней, а молекулярный биолог — понять, как бороться с генной мутацией. Инженер не сконструирует рабочую систему сигнализации или видеонаблюдения, а программист не найдет подход к операционной системе. Многие из этих и других профессий без математики просто не существуют.
Гуманитарные знания
Однако не столь очевидна роль математики в жизни человека, например, посвятившего себя живописи или литературе. И все же следы царицы наук присутствуют и в гуманитарных знаниях.
Казалось бы, поэзия — сплошная романтика и вдохновение, в ней нет места анализу и расчету. Однако достаточно вспомнить стихотворные размеры (ямб, хорей, амфибрахий), как приходит понимание, что математика и тут приложила свою руку. Ритм, словесный или музыкальный, также описывается и просчитывается с применением знаний этой науки.
Для писателя или психолога часто важны такие понятия, как достоверность информации, единичный случай, обобщение и так далее. Все они либо напрямую являются математическими, либо строятся на основе закономерностей, разработанных царицей наук, существуют благодаря ей и по ее правилам.
Психология родилась на стыке гуманитарных и естественных наук. Все ее направления, даже те, что работают исключительно с образами, опираются на наблюдение, анализ данных, их обобщение и верификацию. Здесь используется и моделирование, и прогнозирование, и статистические методы.
Со школы
Математика в нашей жизни присутствует не только в процессе освоения профессии и реализации полученных знаний. Так или иначе мы используем царицу наук практически в каждый момент времени. Именно поэтому математике начинают обучать достаточно рано. Решая простые и сложные задачи, ребенок не просто учится складывать, вычитать и умножать. Он медленно, с азов постигает устройство современного мира. И речь тут идет не о техническом прогрессе или умении проверять сдачу в магазине. Математика формирует некоторые особенности мышления и оказывает влияние на отношение к миру.
Самое простое, самое сложное, самое главное
Наверное, все вспомнят хотя бы один вечер за домашним заданием, когда хотелось отчаянно взвыть: «Я не понимаю, для чего нужна математика!», отбросить в сторону ненавистные сложные и нудные задачки и сбежать во двор к друзьям. В школе и даже позже, в институте, заверения родителей и преподавателей «потом пригодится» кажутся надоедливым бредом. Однако они, оказывается, правы.
Именно математика, а затем и физика, учит находить причинно-следственные связи, закладывает привычку искать пресловутое «откуда ноги растут». Внимание, сосредоточенность, сила воли — они также тренируются в процессе решения тех самых ненавистных задачек. Если пойти дальше, то умение выводить следствия из фактов, прогнозировать будущие события, а также привычка это делать тоже закладываются во время изучения математических теорий. Моделирование, абстрагирование, дедукция и индукция — все это методы царицы наук и одновременно способы работы мозга с информацией.
И снова психология
Часто именно математика дарит ребенку откровение, что взрослые не всемогущи и знают далеко не все. Так бывает, когда мама или папа на просьбу помочь решить задачку лишь разводят руками и объявляют о своей неспособности это сделать. И ребенок вынужден сам искать ответ, ошибаться и снова искать. Бывает и так, что родители просто отказываются помочь. «Ты должен сам», — говорят они. И правильно делают. После многочасовых попыток ребенок получит не просто сделанное домашнее задание, но способность самостоятельно находить решения, обнаруживать и исправлять ошибки. И в этом также кроется роль математики в жизни человека.
Конечно, самостоятельность, умение принимать решения, отвечать за них, отсутствие страха перед ошибками вырабатываются не только на уроках алгебры и геометрии. Но эти дисциплины играют в процессе немалую роль. Математика воспитывает такие качества, как целеустремленность и активность. Правда, многое зависит и от учителя. Неправильная подача материала, излишняя строгость и давление могут, наоборот, привить страх перед трудностями и ошибками (сначала на уроках, а потом и в жизни), нежелание высказывать свое мнение, пассивность.
Математика в повседневной жизни
Взрослые люди после окончания университета или колледжа не перестают каждый день решать математические задачи. Как успеть на поезд? Получится ли из килограмма мяса приготовить ужин для десяти гостей? Сколько калорий в блюде? На какое время хватит одной лампочки? Эти и многие другие вопросы имеют прямое отношение к царице наук и без нее не решаются. Получается, математика в нашей жизни незримо присутствует практически постоянно. Причем чаще всего мы этого даже не замечаем.
Математика в жизни общества и отдельного человека затрагивает огромное количество областей. Некоторые профессии без нее немыслимы, многие появились только благодаря развитию отдельных ее направлений. Современный технический прогресс тесно связан с усложнением и развитием математического аппарата. Компьютеры и телефоны, самолеты и космические аппараты никогда бы не появились, не будь людям известна царица наук. Однако роль математики в жизни человека этим не исчерпывается. Наука помогает ребенку осваивать мир, обучает более эффективному взаимодействию с ним, формирует мышление и отдельные качества характера. Впрочем, сама по себе математика не справилась бы с такими задачами. Как было сказано выше, огромную роль играет подача материала и особенности личности того, кто знакомит ребенка с миром.
Источник
Сможете ли вы доступно объяснить ребёнку, для чего ему нужно заниматься математикой? Ведь изучение понятий, законов математики и логики, решение математических и логических задач требует умственных усилий. А зачем вообще это нужно?
Мы изучили ряд научных исследований, и выделили реальные доказательства пользы от занятий математикой.
Даже если вы убеждены, что жизнь вашего ребенка не будет связана с математикой, рекомендуем все равно прочитать нашу статью, чтобы как минимум с легкостью ответить на вопросы маленького «почемучки».
1. Математика развивает мышление
Изучая математику и решая задачи, ребёнок учится:
- обобщать и выделять важное;
- анализировать и систематизировать;
- находить закономерности и устанавливать причинно-следственные связи;
- рассуждать и делать выводы;
- мыслить логически, стратегически и абстрактно.
Как регулярные спортивные тренировки «прокачивают» тело, делают его здоровым, сильным и выносливым, так регулярные занятия математикой «прокачивают» мозг – развивают интеллект и познавательные способности, расширяют кругозор.
Читайте также:
В статье «5 причин научиться думать как математик» мы подробно разобрали в чем заключается сила математического мышления и зачем его развивать.
2. Занятия математикой тренируют память
Ученые из Стэнфордского университета в США изучили процесс решения человеком математических задач и выяснили, что взрослые люди используют для этих целей мышление и доведенный до автоматизма навык «доставать» из памяти уже имеющиеся там ответы.
Дети до 7 лет часто прибегают к помощи пальцев рук и ног, а также различных заменителей (реальных предметов, счетных палочек). В «переходный период», в возрасте от 7 до 9 лет, у школьников формируется «взрослый» навык «думания», осмысления и запоминания информации.
Интересное исследование было опубликованно в журнале «Nature Neuroscience» в 2014 году. В первую очередь, оно было посвящено изучению роли гиппокампа (области в головном мозге) в развитии познавательной активности детей. Но его косвенные выводы таковы:
- если хотите, чтобы у ребенка в школе не было проблем с математикой – тренируйте память в раннем возрасте;
- решение математических задач развивает память.
3. Математика закаляет характер
Для правильного решения математических и логических задач нужны внимательность, настойчивость, ответственность, точность и аккуратность.
Чем регулярнее ребенок тренирует эти «мышцы характера», тем сильнее они становятся, тем чаще помогают ребенку в решении не только учебных задач, но и жизненных проблем.
ЛогикЛайк – подходящая платформа для тренировок по 20-60 минут в день. Решайте задачи, участвуйте в олимпиадах по логике и математике, развивайте волю к победе и умение побеждать!
Мы создаём и простые, и олимпиадные задачи, которые хочется решать:
4. Музыка для математики, математика – для музыки
Комплексное исследование, проведенное Барбарой Хелмрич (Barbara H. Helmrich) из Колледжа Нотр-Дам в Балтиморе, выявило, что дети, которые играли на музыкальных инструментах в средней школе, ощутимо лучше успевают по математике в старших классах.
Ученые обнаружили, что за решение алгебраических задач и обработку музыкальной информации отвечает один и тот же участок головного мозга.
«Наибольшая средняя разница в результатах по алгебре между любыми двумя группами испытуемых была обнаружена между афроамериканскими «инструментальными» группами и группами «немузыкальных» школьников».
Парадоксально, но ученые как будто не интересовались обратной связью.
Ведь если за развитие математических и музыкальных способностей отвечает один и тот же участок головного мозга, не исключено, что занятия математикой улучшают музыкальные способности.
Вспоминается Шерлок Холмс, который был одновременно превосходным сыщиком и талантливым скрипачом. Многие скажут, что знаменитый английский сыщик – просто выдумка, но у него был свой реальный прототип, наставник и друг Артура Конана Дойла. Страстным скрипачом был и величайший физик Альберт Эйнштейн.
5. Математика помогает преуспевать в гуманитарных науках
Именно ранние математические способности – верная предпосылка к тому, что в дальнейшем ребенок будет не только хорошо понимать математику, но и преуспевать в других школьных дисциплинах. Далее по значимости вклада в учебные успехи идут навыки чтения и способности управлять своим вниманием.
К таким выводам пришли ученые в области образования и социальной политики Северо-Западного университета в Эванстоне. В ходе исследования они оценивали связь ключевых элементов готовности к школе (базовые навыки для приема в школу — «академическая» готовность, внимание, социально-эмоциональные навыки) с дальнейшими успехами в учебе.
Математика – наука междисциплинарная, она тесно связана с физикой, географией, геологией, химией. Социология и экономика неотделимы от математики, и многие выводы даже привычно гуманитарных наук, таких как лингвистика, журналистика, опираются на математические модели и понятия, математические и логические законы.
6. Развивает навыки решения бытовых задач
Барбара Оакли, доктор технических наук, исследователь стволовых клеток мозга и автор книги «Думай как математик» подчеркивает:
«Математика избавляет нас от «магического мышления» – мы стремимся вникнуть в суть вещей и не полагаемся на авось и высшие силы».
Чем сложнее становятся математические задачи, тем больше навыков требуется для их решения. Ребенок учится рассуждать, выстраивать последовательности, продумывать алгоритмы, жонглировать сразу несколькими понятиями, и эти навыки входят в привычку.
Благодаря математике мы избавляемся от вредных привычек:
- не домысливаем, а оперируем только точными терминами;
- не просто механически запоминаем информацию и правила, а оцениваем ее, анализируем, размышляем, чтобы понять и усвоить новый материал, новый жизненный урок.
7. Математика – основа успешной карьеры
Если 10-15 лет назад перспективным считалось изучение иностранных языков, то сейчас свободным владением несколькими языками никого не удивишь. Теперь профессиональная востребованность во многом зависит от понимания технологий, умения мыслить, абстрагироваться и способностей к решению нестандартных задач. Крайне сложно обойтись без знания математики тем, кто хочет работать в сфере IT.
Абстрактное, критическое и стратегическое мышление, аналитические способности, умение выстраивать алгоритмы – «мастхэв» для хорошего разработчика.
ТОП 5 гибких навыков. Источник: amazonaws.com
Результативные занятия математикой придают уверенность в себе, ведь успехи в ней требуют упорства в стремлении решить самые сложные, иногда, на первый взгляд, «неразрешимые» задачи и проблемы.
Проверьте свои силы:
Математические головоломки вам в помощь: 9 отборных известных задач на сообразительность. Сколько сможете решить?
8. Решение задач вырабатывает психологическую стойкость
Решение математических задач помогает улучшить эмоциональный фон – это занятие способно избавить от тревоги, помогает контролировать эмоции и предупреждает стресс.
К таким выводам пришли ученые из Университета Дьюка в США, которые сумели доказать это в исследовании, опубликованном в журнале «Клиническая психология» в 2016 году.
9. Удовольствие от «икс»
Для человека, серьёзно занимающегося математикой, математические формулы, уравнения и другие логические и математические задачи воплощают собой красоту, гармонию и доставляют такое же эстетическое удовольствие, как музыка, искусство и хорошая шутка, утверждает группа исследователей из нескольких университетов Великобритании.
С помощью функциональной магнитно-резонансной томографии была зафиксирована активность мозговой деятельности испытуемых во время демонстрации им математических уравнений, формул и задач. Результаты исследования опубликованы в журнале «Границы человеческой нейробиологии» (Frontiers in Human Neuroscience) в 2014 году.
Как научиться испытывать радость и наслаждение от занятий математикой рассказывает известный американский математик, выпускник Гарвардского университета, Стивен Строгац. Преподаватель прикладной математики, обладатель наград в области математики и преподавания на страницах своей книги «Удовольствие от X» с энтузиазмом, просто и понятно объясняет самые значительные математические идеи.
Попробуйте занятия логикой и математикой на LogicLike.com!
Мы убеждены, что детям, особенно в возрасте 5-9 лет, не обязательно рассказывать, как важно изучать математику. Гораздо важнее дать возможность ребёнку окунуться в мир занимательной интерактивной математики.
Обучаясь на платформе LogicLike, дети решают интересные логические задачи, зарабатывают за правильные ответы свои первые награды-«звезды», играют в современные логические игры – и получают не только пользу, но и настоящее удовольствие от такой математики.
Источник
Çíà÷åíèå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòèêà. Åå ðîëü â íàóêå. Ìàòåìàòèêà êàê íàóêà îñíîâàííàÿ íà ðàçíîîáðàçèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, çàäà÷åé êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèå ðåàëüíûõ ñîáûòèé è ÿâëåíèé. Îñîáåííîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ÿçûêà. Èçâåñòíûå âûñêàçûâàíèÿ î ìàòåìàòèêå.
Ñòóäåíòû, àñïèðàíòû, ìîëîäûå ó÷åíûå, èñïîëüçóþùèå áàçó çíàíèé â ñâîåé ó÷åáå è ðàáîòå, áóäóò âàì î÷åíü áëàãîäàðíû.
Ðàçìåùåíî íà https://www.allbest.ru
ÌÈÍÎÁÍÀÓÊÈ Ðîññèè
ÔÃÁÎÓ ÂÏÎ ÑàìÃÒÓ
Èíæåíåðíî-ýêîíîìè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Êàôåäðà Âûñøåé Ìàòåìàòèêè è Ïðèêëàäíîé Èíôîðìàòèêè
Ðåôåðàò
Çà÷åì íóæíà ìàòåìàòèêà
Âûïîëíèëà:
Ñòóäåíòêà 1-ÈÝÔ- 5
Ìèõàéëîâà Ìàðãàðèòà Âàñèëüåâíà
Ïðèíÿëà: ê. ò. í, äîöåíò
Áåíãèíà Òàòüÿíà Àëåêñååâíà
Ñàìàðà 2012
Çà÷åì íóæíà ìàòåìàòèêà
Êàê ëþáîé íîðìàëüíûé ðåáåíîê, åù¸ â øêîëüíûå ãîäû, ìåíÿ âîëíîâàë âîïðîñ: Çà÷åì æå íóæíà ìàòåìàòèêà? Òîãäà, ÿ áûñòðî íàøëà íà íåãî îòâåò, íàó÷èâøèñü ïðàâèëüíî ïîäñ÷èòûâàòü ñäà÷ó, ñ÷èòàòü, ñêîëüêî ìíå îñòàëîñü íàêîïèòü äî íóæíûõ áóñ è áðàñëåòîâ, ïîä êàêèì óãëîì êèäàòü êàìåíü ïî âîäå, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü «ëÿãóøêà».
Ñåé÷àñ, áóäó÷è ñòóäåíòîì óíèâåðñèòåòà, ÿ ïîïûòàþñü åù¸ ðàç çàäàòü ñåáå âîïðîñ î çíà÷åíèå ìàòåìàòèêè â íàøåé æèçíè è ðàçîáðàòüñÿ â í¸ì ãëóáæå.
×åñòíî ãîâîðÿ, ÿ äóìàëà, ÷òî ìàòåìàòèêà íå èãðàåò óæ òàêóþ âåëèêóþ ðîëü â æèçíè ëþäåé, íî êîãäà íà÷àëà ïèñàòü ðåôåðàò è çàäóìûâàòüñÿ íà ýòó òåìó, îêàçàëîñü, ÷òî ÿ áûëà íå ïðàâà. Î òàêîì áîëüøîì çíà÷åíèè è âàæíîñòè ìàòåìàòèêè â æèçíè ëþäåé ÿ è íå äîãàäûâàëàñü.
Òÿæåëî ïðåäñòàâèòü, íî êîãäà-òî ëþäè ñîâñåì íå óìåëè ñ÷èòàòü!
Ôàêòû óáåäèòåëüíî ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ñ÷åò âîçíèê ðàíüøå, ÷åì íàçâàíèÿ ÷èñåë. ×åëîâåê ïîëüçîâàëñÿ îêðóæàâøèìè åãî îäíîòèïíûìè ïðåäìåòàìè: ïàëüöû, êàìåøêè, óçåëêè, íàðèñîâàííûå íà ñòåíå ÷åðòî÷êè, çàðóáêè íà ïàëêàõ è íà äåðåâüÿõ, êó÷êè êàìíåé è ò.ï. Ïðè âîçíèêíîâåíèè ÿçûêà ñëîâà ñâÿçûâàþòñÿ òîëüêî ñ òåìè ïîíÿòèÿìè, êîòîðûå óæå ñóùåñòâóþò, ò. å. ðàñïîçíàþòñÿ. Ñëîâà «îäèí», «äâà» è, âîçìîæíî, «òðè» ïîÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìî îò ñ÷åòà. Ñ÷èñëåíèå (íóìåðàöèÿ) — ñîâîêóïíîñòü ïðè¸ìîâ íàèìåíîâàíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ ÷èñåë. Êîãäà ñ÷åò ñòàíîâèòñÿ ðàñïðîñòðàíåííûì è ïðèâû÷íûì äåëîì, äëÿ íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ (ò. å. íåáîëüøèõ) ãðóïï ñòàíäàðòíûõ ïðåäìåòîâ âîçíèêàþò è ñëîâåñíûå îáîçíà÷åíèÿ.
Ñ óñëîæíåíèåì õîçÿéñòâåííîé äåÿòåëüíîñòè ëþäåé ïîíàäîáèëîñü âåñòè ñ÷åò â áîëåå îáøèðíûõ ïðåäåëàõ, ÷òî ïîòðåáîâàëî ñîçäàíèÿ áîëåå ñëîæíûõ ñ÷¸òíûõ óñòðîéñòâ. Ýòî ðàçëè÷íûå ñ÷¸òû (àáàê, ñîðîáàí, ñóàí-ïàí è ò.ï.) è ïîçäíåå â ñðåäíèå âåêà ïîÿâëÿþòñÿ ìåõàíè÷åñêèå ñ÷¸òíûå.
Âî ìíîãîì áëàãîäàðÿ ìàòåìàòèêå öèâèëèçàöèÿ ñòàëà òàêîé, êàêàÿ îíà åñòü ñåé÷àñ: ðàçâèòîé, âûñîêîòåõíîëîãè÷íîé, îáðàçîâàííîé è îáåñïå÷åííîé. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ íàóêà ïîçâîëèëà ðàçâèòüñÿ öèâèëèçàöèè âî âñåõ åå àñïåêòàõ.
Çíà÷åíèå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòèêà
Íàçâàíèå «ìàòåìàòèêà» ïðîèñõîäèò îò ãðå÷åñêîãî ñëîâà «ìàòåéí» (mathein) — ó÷èòüñÿ, ïîçíàâàòü. Äðåâíèå ãðåêè âîîáùå ñ÷èòàëè, ÷òî ïîíÿòèÿ «ìàòåìàòèêà» (mathematike) è «íàóêà», «ïîçíàíèå» (mathema) — ñèíîíèìû. Èì áûëî ñâîéñòâåííî òàêîå ïîíèìàíèå óíèâåðñàëèçìà ýòîé îòðàñëè çíàíèÿ, êîòîðîå äâà òûñÿ÷åëåòèÿ ñïóñòÿ âûðàçèë Ðåíå Äåêàðò, ïèñàâøèé: «Ê îáëàñòè ìàòåìàòèêè îòíîñÿò íàóêè, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèáî ïîðÿäîê, ëèáî ìåðà, è ñîâåðøåííî íå ñóùåñòâåííî, áóäóò ëè ýòî ÷èñëà, ôèãóðû, çâåçäû, çâóêè èëè ÷òî-íèáóäü äðóãîå…; òàêèì îáðàçîì, äîëæíà ñóùåñòâîâàòü íåêàÿ îáùàÿ íàóêà, îáúÿñíÿþùàÿ âñå, îòíîñÿùååñÿ ê ïîðÿäêó è ìåðå, íå âõîäÿ â èññëåäîâàíèå íèêàêèõ ÷àñòíûõ ïðåäìåòîâ…»
Äðóãîå îáúÿñíåíèå ïðîèñõîæäåíèÿ ñëîâà «ìàòåìàòèêà» ñâÿçàíî ñ ãðå÷åñêèì ñëîâîì «ìàòåìà» (mathema), ÷òî îçíà÷àåò óðîæàé, ñáîð óðîæàÿ. Ðàçìåòêà çåìåëüíûõ ó÷àñòêîâ (ãåîìåòðèÿ), îïðåäåëåíèå ñðîêîâ ïîëåâûõ ðàáîò (íà îñíîâå àñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþäåíèé è âû÷èñëåíèé), ïîäãîòîâêà íåîáõîäèìîãî êîëè÷åñòâà ïîñåâíûõ ìàòåðèàëîâ è ïîäñ÷åò ñîáðàííîãî óðîæàÿ òðåáîâàëè ñåðüåçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé.
Ðîëü ìàòåìàòèêè â íàóêå
Ðîëü ìàòåìàòèêè â ñîâðåìåííîé íàóêå ïîñòîÿííî âîçðàñòàåò. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, áåç ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ öåëîãî ðÿäà ÿâëåíèé äåéñòâèòåëüíîñòè òðóäíî íàäåÿòüñÿ íà èõ áîëåå ãëóáîêîå ïîíèìàíèå è îñâîåíèå, à, âî-âòîðûõ, ðàçâèòèå ôèçèêè, ëèíãâèñòèêè, òåõíè÷åñêèõ è íåêîòîðûõ äðóãèõ íàóê ïðåäïîëàãàåò øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà. Áîëåå òîãî, áåç ðàçðàáîòêè è èñïîëüçîâàíèÿ ïîñëåäíåãî áûëî áû, íàïðèìåð, íåâîçìîæíî íè îñâîåíèå êîñìîñà, íè ñîçäàíèå ýëåêòðîííî-âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, íàøåäøèõ ïðèìåíåíèå â ñàìûõ ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ÷åëîâå÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè.
Áëàãîäàðÿ ìàòåìàòè÷åñêèì çíàíèÿì è íàâûêàì ìû ðåøàåì íå òîëüêî àðèôìåòè÷åñêèå çàäà÷è. Ýòî íàóêà ïîçâîëÿåò ðàçâèâàòü ãèáêîñòü óìà, ÷òî íóæíî äëÿ ïðèíÿòèÿ îáúåêòèâíîãî ðåøåíèÿ ëþáîé çàäà÷è. Ýòà íå òîëüêî çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîãî õàðàêòåðà, íî è ðàçëè÷íûå æèçíåííûå ñèòóàöèè, òðåáóþùèå ðàññìîòðåíèÿ «ïîä ðàçíûìè óãëàìè». ×òîáû ïîíÿòü, ïîçíàòü ñóùíîñòü ïðîáëåìû, íóæíî ðàññìîòðåòü åå ñî âñåõ ñòîðîí, ÷òî âîçìîæíî áëàãîäàðÿ âîîáðàæåíèþ. ìàòåìàòèêà íàóêà ÿçûê
Ìàòåìàòèêà — íàóêà òî÷íàÿ, êîòîðàÿ íå òåðïèò îøèáîê. Èìåííî áëàãîäàðÿ ýòîé åå ÷åðòå ìàòåìàòè÷åñêèå çàêîíû ëåãëè â îñíîâó âñåõ èçîáðåòåíèé, íà÷èíàÿ ïðèìèòèâíûìè â âèäå ðû÷àãîâ è ìàÿòíèêîâ è çàêàí÷èâàÿ ñóïåðêîìïüþòåðàìè.
Ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê
Âûâîäèìûå â ìàòåìàòèêå çàêîíû è çàêîíîìåðíîñòè ÿâëÿþòñÿ îáúåêòèâíûìè è ïðèìåíèìûìè âî âñåõ îñòàëüíûõ îáëàñòÿõ ÷åëîâå÷åñêîãî çíàíèÿ. Íà åå çàêîíû îïèðàåòñÿ ôèçèêà, õèìèÿ, ãåîãðàôèÿ, ãåîëîãèÿ è ìíîãèå äðóãèå îáëàñòè íàó÷íîãî çíàíèÿ, â êîòîðûõ ïðîñòî íåâîçìîæíî îáîéòèñü áåç ìàòåìàòèêè.
Ïðèìåíÿåìûé â ìàòåìàòèêå ôîðìóëüíûé ÿçûê ÿâëÿåòñÿ ÿñíûì äëÿ âñåõ ïîñâÿùåííûõ â íåãî ó÷åíûõ íåçàâèñèìî îò íàöèîíàëüíîñòè, âåðîèñïîâåäàíèÿ è ÿçûêà. Áëàãîäàðÿ íåìó íîâûå îòêðûòèÿ è äîêàçàòåëüñòâà â ìèðå ìàòåìàòèêè ñòàíîâÿòñÿ èçâåñòíûìè â êðàò÷àéøèå ñðîêè.
Ìàòåìàòèêà êàê íàóêà îñíîâûâàåòñÿ íà ðàçíîîáðàçèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ãëàâíîé çàäà÷åé êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèå ðåàëüíûõ ñîáûòèé è ÿâëåíèé. Îòñþäà ñëåäóåò è ãëàâíàÿ öåëü ìàòåìàòèêè ñ ïðàêòè÷åñêîé åå ñòîðîíû — ðàçðàáîòêà òàêèõ ìîäåëåé, êîòîðûå ñìîãëè áû â äîñòàòî÷íîé ìåðå îáúÿñíèòü èññëåäóåìîå ÿâëåíèå èëè îáúåêò.
Îäíîé èç îñíîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå ÿçûêà ÷èñåë êî âñåì ìîäåëèðóåìûì îáúåêòàì. ×èñëî â ìàòåìàòèêå ïîäîáíî áóêâå â àëôàâèòå, áåç íåãî íèêóäà. ßçûê ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ èíòåðíàöèîíàëüíûì, ïîíÿòíûì êàæäîìó îáðàçîâàííîìó ÷åëîâåêó.
Ìàòåìàòè÷åñêîå çíàíèå ïîçâîëÿåò ÷åëîâåêó áûñòðåå è ïðàâèëüíåå âûÿâëÿòü âçàèìîñâÿçè â ïðîèñõîäÿùèõ âîêðóã ñîáûòèÿõ, ïîñòóïàòü ãðàìîòíåå è, ÷òî ãëàâíîå, ëîãè÷íåå, à òàêæå îáëàäàòü êîíñòðóêòèâíûì ïîäõîäîì â ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ âîïðîñîâ. ×åëîâåêà, êîòîðûé õîðîøî çíàåò ìàòåìàòèêó, ìîæíî íàçâàòü îáðàçîâàííûì è ëîãè÷íûì.
Ñåé÷àñ ìû ïðèâûêëè, ÷òî âñå ìãíîâåííî óñòàðåâàåò, äëÿ êîìïüþòåðà ãîä — óæå ïðèãîâîð. À Âû ïðåäñòàâüòå, ÷òî âñå òî, ÷òî áûëà çàëîæåíà åùå äâå òûñÿ÷è ëåò íàçàä ïî ìàòåìàòèêå äî ñèõ ïîð àêòóàëüíî, ÷òî âñå òå ìàòåìàòè÷åñêèå çàêîíû è òåîðåìû, êîòîðûå áûëè ñôîðìóëèðîâàíû çíàìåíèòûìè ìàòåìàòèêàìè òåõ âðåìåí, äî ñèõ ïîð âåðíû. Ïî÷òè íè ÷òî íå èçìåíèëîñü ñ òîãî âðåìåíè.
Ìàòåìàòèêà — ñòðàíà áåç ãðàíèö
Íå ðàç ïðèõîäèëîñü ñëûøàòü ôðàçó î òîì, ÷òî ìàòåìàòèêà — ñòðàíà áåç ãðàíèö. Íåñìîòðÿ íà ñâîþ áàíàëüíîñòü, ôðàçà î ìàòåìàòèêå èìååò ïîä ñîáîé î÷åíü âåñêèå îñíîâàíèÿ. Ìàòåìàòèêà â æèçíè ÷åëîâåêà çàíèìàåò îñîáîå ìåñòî. Ìû íàñòîëüêî ñðîñëèñü ñ íåé, ÷òî ïîïðîñòó íå çàìå÷àåì å¸.
À âåäü ñ ìàòåìàòèêè íà÷èíàåòñÿ âñ¸. Ðåá¸íîê òîëüêî ðîäèëñÿ, à ïåðâûå öèôðû â åãî æèçíè óæå çâó÷àò: ðîñò, âåñ.
Ìàëûø ðàñòåò, íå ìîæåò âûãîâîðèòü ñëîâà «ìàòåìàòèêà», à óæå çàíèìàåòñÿ åþ, ðåøàåò íåáîëüøèå çàäà÷è ïî ïîäñ÷åòó èãðóøåê, êóáèêîâ. Äà è ðîäèòåëè î ìàòåìàòèêå è çàäà÷àõ íå çàáûâàþò. Ãîòîâÿ ðåáåíêó ïèùó, âçâåøèâàÿ åãî, èì ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü ìàòåìàòèêó. Âåäü íóæíî ðåøèòü ýëåìåíòàðíûå çàäà÷è: ñêîëüêî åäû íóæíî ïðèãîòîâèòü äëÿ ìàëûøà, ó÷èòûâàÿ åãî âåñ.
Ñòðîèòåëè äåëàþò ïëàíèðîâêó êâàðòèð, îïòèìàëüíóþ ïëàíèðîâêó êâàðòèð, äëèíó è øèðèíó êîðèäîðà, ðàçìåðû êîìíàò ïîìîãàþò íàéòè èç ïðîñòûõ ôóíêöèè. Ó Âàñ åñòü ïëîùàäü, îñíîâíûå ïàðàìåòðû äîìà (äëèíà è øèðèíà), ïðèìåðíûé ðàçìåð êîðèäîðà, íà îñíîâàíèè ýòîãî ñîñòàâëÿåòñÿ ñèñòåìà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, â êîòîðûõ íåèçâåñòíûìè îñòàþòñÿ òîëüêî ïàðàìåòðû êîìíàò, òîãî, ÷òî Âàñ èíòåðåñóåò. Çàòåì äàííàÿ ñèñòåìà ñâîäèòüñÿ â îäíî óðàâíåíèå, äèôôåðåíöèðóåòñÿ, èññëåäóåòñÿ íà ìîíîòîííîñòü, è íàõîäÿòñÿ åå òî÷êè ýêñòðåìóìà. Èìåííî òî÷êè ýêñòðåìóìà è ÿâëÿþòñÿ îïòèìàëüíûìè, òåìà, êîòîðûå âûãîäíåå âñåãî èñïîëüçîâàòü. Çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ, ïîëó÷åííûå â òî÷êàõ ýêñòðåìóìà, è èñïîëüçóþòñÿ ñòðîèòåëÿìè.
 øêîëå ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ ïðèõîäèòñÿ ìíîãî è ñëîæíîñòü èõ ñ êàæäûì ãîäîì ðàñòåò. Ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è ðàçâèâàþò ìûøëåíèå, ëîãèêó, êîìïëåêñ óìåíèé: óìåíèå ãðóïïèðîâàòü ïðåäìåòû, ðàñêðûâàòü çàêîíîìåðíîñòè, îïðåäåëÿòü ñâÿçè ìåæäó ÿâëåíèÿìè, ïðèíèìàòü ðåøåíèÿ. Î÷åíü ÷àñòî ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòî ìàòåìàòè÷åñêèì ðàñ÷¸òîì.
Çàíÿòèÿ ìàòåìàòèêîé, ðåøåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ ðàçâèâàåò ëè÷íîñòü, äåëàåò å¸ öåëåóñòðåìëåííåå, àêòèâíåå, ñàìîñòîÿòåëüíåå. Âñïîìíèòå õîòÿ áû ñâîåãî îäíîêëàññíèêà, õîðîøî çíàâøåãî ìàòåìàòèêó, áûñòðî óìåâøåãî ðåøàòü çàäà÷è. Åãî ÷àñòî íàçûâàëè óìíèêîì, ìàòåìàòèêîì, «çàäà÷íèêîì». Îí ìîã ðåøèòü çàäà÷è, àðãóìåíòèðîâàë ñâîé âûáîð, ìîã êðèòè÷åñêè îöåíèòü ñåáÿ è ñâîèõ îäíîêëàññíèêîâ. Äà è óñïåâàåìîñòü ïî îñòàëüíûì ïðåäìåòàì, êðîìå ìàòåìàòèêè, îêàçûâàëàñü íà ïîðÿäîê âûøå. Èìåííî ìàòåìàòè÷åñêîå ìûøëåíèå ïîìîãàëî åìó â ýòîì.
Êàçàëîñü áû, ÷òî ïîñëå øêîëû ìàòåìàòèêà íèãäå íå ïðèãîäèòñÿ. Óâû! Òóò ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü ìàòåìàòèêó åù¸ ÷àùå. Âî âðåìÿ ó÷¸áû â âóçå, íà ðàáîòå è äîìà íóæíî ïîñòîÿííî ðåøàòü çàäà÷è, è íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêèå. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü óñïåøíîé ñäà÷è ýêçàìåíà ïî ìàòåìàòèêå? Ñêîëüêî äåíåã íóæíî çàðàáîòàòü, ÷òîáû êóïèòü êâàðòèðó? Ñêîëüêî ìîæíî ïîëó÷èòü, çàíèìàÿñü ìàòåìàòèêîé è ðåøåíèåì ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷? È òóò íà ïîìîùü ïðèä¸ò ìàòåìàòèêà. Îíà ñëåäóåò çà ÷åëîâåêîì âåçäå, ïîìîãàåò åìó ðåøàòü çàäà÷è, äåëàåò åãî æèçíü íàìíîãî óäîáíåå.
Ìàòåìàòèêà â äðåâíîñòè
Äðåâíèå Åãèïòÿíå íèêîãäà áû íå ïîñòðîèëè ñâîè Âåëèêèå ïèðàìèäû áåç ïðîñòûõ çàêîíîâ ìàòåìàòèêè. Êàæåòñÿ, ÷òî ìîæåò áûòü ïðîùå, ÷åì ïðîâåñòè ïðÿìóþ ëèíèþ?! À âåäü ÷òîáû ñäåëàòü ñòîðîíó ïèðàìèäû, íåîáõîäèìà ïðÿìàÿ ëèíèÿ äëèíîþ â íåñêîëüêî êèëîìåòðîâ! Åãèïòÿíàì óäàëîñü äîäóìàòüñÿ, êàê ðåøèòü çàäà÷ó è íàâåêè âîéòè â èñòîðèþ.
Ìíîãèå ïðàâèëà èç øêîëüíûõ ó÷åáíèêîâ àðèôìåòèêè è ãåîìåòðèè áûëè èçâåñòíû äðåâíèì ãðåêàì äâå ñ ëèøíèì òûñÿ÷è ëåò íàçàä. Äðóãèå äðåâíèå íàðîäû — åãèïòÿíå, âàâèëîíÿíå, êèòàéöû, íàðîäû Èíäèè — â òðåòüåì òûñÿ÷åëåòèè äî íàøåãî ëåòîñ÷èñëåíèÿ èìåëè ñâåäåíèÿ ïî ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêå, êîòîðûõ íå õâàòàåò íåêîòîðûì ó÷åíèêàì ïÿòîãî èëè øåñòîãî êëàññà. Âåäü âñþäó, ãäå íàäî ÷òî-òî ñ÷èòàòü, èçìåðÿòü, ñðàâíèâàòü, áåç ìàòåìàòèêè íå îáîéòèñü. À ÷åì äàëüøå, òåì áîëüøå è òî÷íåå íóæíî áûëî ñ÷èòàòü. Ñ êàæäûì äåñÿòèëåòèåì ìàòåìàòèêà ñòàíîâèëàñü âñ¸ íóæíåå ëþäÿì. Òåïåðü ðàñ÷¸òàìè è âû÷èñëåíèÿìè ïðèõîäèòüñÿ çàíèìàòüñÿ íå òîëüêî ñàìèì ìàòåìàòèêàì: è èíæåíåðû, è ìîðÿêè, è ñòðîèòåëè íà êàæäîì øàãó ñòàëêèâàëèñü ñ âû÷èñëåíèÿìè.
Êîìó åù¸ ïîìîãàåò ìàòåìàòèêà
Òàêæå ìàòåìàòèêà ïîìîãàåò àñòðîíîìàì, â îïðåäåëåíèè ïóòåé äàëåêèõ çâåçä. Èíæåíåðàì â ðàñ÷åòå ðåàêòèâíûõ ñàìîëåòîâ, êîðàáëåé. Ôèçèêó îòêðûâàåò çàêîíû àòîìíîãî ÿäðà. Ìîðÿêó óêàçûâàåò ïóòü êîðàáëÿ â îêåàíå.
 íàøå âðåìÿ ïîÿâëÿåòñÿ âñ¸ áîëüøå è áîëüøå âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, ñëîæíûõ ñòàíêîâ, ðàçëè÷íûõ àâòîìàòîâ, ïîýòîìó ìàòåìàòèêà íóæíà íå òîëüêî èíæåíåðàì è ôèçèêàì, íî è îáû÷íûì ìàñòåðàì è ðàáî÷èì íà çàâîäå.
Îäíàêî åù¸ íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ëåò íàçàä âñòðå÷àëîñü íåìàëî òàêèõ çàäà÷, ðåøèòü êîòîðûå áûëî ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî, õîòÿ ìàòåìàòèêè è çíàëè, êàê èõ íóæíî ðåøàòü. Áûâàëî, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ îäíîé åäèíñòâåííîé çàäà÷è äåñÿòêè ëþäåé ðàáîòàëè íåñêîëüêî ëåò. Âû÷èñëåíèÿ øëè ìåäëåííî. Ãëàâíûå «èíñòðóìåíòû» ìàòåìàòèêà áûëè òå æå, ÷òî âî âðåìåíà äðåâíèõ ãðåêîâ — ñîáñòâåííàÿ ãîëîâà è ÷èñòûé ëèñò áóìàãè ñ êàðàíäàøîì.
È âîò ó ìàòåìàòèêè ïîÿâèëñÿ íîâûé ìîãó÷èé ïîìîùíèê, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîííî-âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíîé.
Ñ èçîáðåòåíèåì ýëåêòðîííî-âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí íà÷àëàñü íîâàÿ ýïîõà â ìàòåìàòèêå è ìíîãèõ äðóãèõ íàóêàõ.
Íàì íóæíî ñëîæèòü òûñÿ÷ó áîëüøèõ ÷èñåë. Åñëè ñêëàäûâàòü ÷èñëà íà áóìàãå ñòîëáèêîì, òî ýòî, âåðîÿòíî, çàéìåò ÷àñà ÷åòûðå. Îïûòíûé áóõãàëòåð íà ñ÷¸òàõ ñëîæèò òûñÿ÷ó ÷èñåë ïðèìåðíî çà ÷àñ. À ýëåêòðîííî-âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíå ïîíàäîáèòñÿ äëÿ ýòîé ðàáîòû… äîëÿ ñåêóíäû. Ê òîìó æå äëÿ ïðîâåðêè îíà ïðîäåëàåò âû÷èñëåíèå íåñêîëüêî ðàç. Ñóùåñòâóþùèå áûñòðîäåéñòâóþùèå êîìïüþòåðû ðàáîòàþò â ñîòíè òûñÿ÷ ðàç áûñòðåå ÷åëîâåêà.
Äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ çàâòðàøíåé ïîãîäû òðåáîâàëîñü ïðîäåëàòü òûñÿ÷è àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé. Ïðè ðó÷íîì ñ÷¸òå äâà ñïåöèàëèñòà ïîòðàòèëè áû íà ýòè âû÷èñëåíèÿ ïÿòü ëåò, à ìàøèíà âûïîëíèëà ðàáîòó çà ÷àñ.
Íàïðèìåð, âî ìíîãèõ áîëüøèõ àýðîïîðòàõ êîìïüþòåð âìåñòî ÷åëîâåêà-äèñïåò÷åðà óïðàâëÿåò âçë¸òîì è ïîñàäêîé ñàìîë¸òîâ. Ìàøèíà îêàçûâàåòñÿ ãîðàçäî ëó÷øèì äèñïåò÷åðîì, ÷åì ÷åëîâåê: îíà áûñòðåå «äóìàåò», íèêîãäà íå âîëíóåòñÿ, íå óñòà¸ò è ïî÷òè íèêîãäà íå îøèáàåòñÿ. Âûõîäèò, ÷òî «ñ ïîìîùüþ» ýëåêòðîííî-âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû ìàòåìàòèêà ìîæåò óïðàâëÿòü ñàìîë¸òàìè!
Âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû óïðàâëÿþò ïîåçäàìè, ìåòðî, èñêóññòâåííûìè ñïóòíèêàìè Çåìëè, çàâîäàìè è äàæå ïåðåâîäÿò êíèãè ñ îäíîãî ÿçûêà íà äðóãîé. Êàæäàÿ òàêàÿ ìàøèíà ðàáîòàåò ïî çàêîíàì ìàòåìàòèêè.
Èçâåñòíûå âûñêàçûâàíèÿ î ìàòåìàòèêå
Íåäàðîì ãåíèàëüíûé ó÷¸íûé Êàðë Ôðèäðèõ Ãàóññ ãîâîðèë, ÷òî ìàòåìàòèêà — öàðèöà íàóê!
«Ìàòåìàòèêó òîëüêî çà÷åì ó÷èòü íàäî, ÷òî îíà óì â ïîðÿäîê ïðèâîäèò» — ýòî ñëîâà íàøåãî çíàìåíèòîãî è ãåíèàëüíîãî Ì. Ëîìîíîñîâ.
«Ìàòåìàòèêà — ãèìíàñòèêà óìà» — ãîâîðèë âåëèêèé ïîëêîâîäåö Ñóâîðîâ.
«Íàóêà òîëüêî òîãäà äîñòèãàåò ñîâåðøåíñòâà, êîãäà îíà íà÷èíàåò ïîëüçîâàòüñÿ ìàòåìàòèêîé» — óòâåðæäàë âñåìèðíî èçâåñòíûé ïîëèòèê è ôèëîñîô Ìàðêñ.
Âåëèêàÿ êíèãà ïðèðîäû íàïèñàíà ìàòåìàòè÷åñêèìè ñèìâîëàìè — ãîâîðèë Ã. Ãàëèëåé.
«×åëîâåê, íå çíàþùèé ìàòåìàòèêè, íå ñïîñîáåí íè ê êàêèì äðóãèì íàóêàì» — ãîâîðèë Ð. Áýêîí
Íèêîãäà åù¸ ìàòåìàòèêà íå áûëà íàñòîëüêî âñåîáúåìëþùåé è òàêîé íóæíîé ëþäÿì íàóêîé, êàê ñåãîäíÿ. Î òîì, êàêîé áóäåò ìàòåìàòèêà çàâòðà, ãîâîðèòü òðóäíî. Îíà ðàçâèâàåòñÿ ñåé÷àñ òàê ñòðåìèòåëüíî, òàê ÷àñòî äåëàþòñÿ â íåé íîâûå îòêðûòèÿ, ÷òî ãàäàòü î òîì, ÷òî áóäåò, ïîæàëóé, áåñïîëåçíî. Îäíî ìîæíî ñêàçàòü íàâåðíÿêà: çàâòðà ìàòåìàòèêà ñòàíåò åù¸ ìîãóùåñòâåííåå, åù¸ âàæíåå è íóæíåå ëþäÿì, ÷åì ñåãîäíÿ.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1. Ëîïàòíèêîâ Ë. È. Ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ñëîâàðü: Ñëîâàðü ñîâðåìåííîé ýêîíîìè÷åñêîé íàóêè.
2. È.ß. Äåïìàí. Èñòîðèÿ àðèôìåòèêè.
3. Êóäðÿâöåâ Â.À., Äåìèäîâè÷ Á.Ï. Êðàòêèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè.
4. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ. Ïîä ðåäàêöèåé Êðåìåðà Í.Ø.
5. Çàìêîâ Î.Î., Òîëñòîïÿòåíêî À.Â., ×åðåëåíûõ Þ.Í. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå.
6. Èíòåðåíåòíûå ðåñóðñû.
Ðàçìåùåíî íà Allbest.ru
Источник